3) Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 50 000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

Задача: Митя играет в компьютерную игру и ему нужно набрать не менее 50 000 очков, чтобы перейти на следующий уровень. С каждой минутой количество получаемых очков удваивается, начиная с 2 очков за первую минуту. Необходимо определить, через сколько минут Митя сможет перейти на следующий уровень. Решение: Количество очков, получаемых Митей за каждую минуту, образует геометрическую прогрессию со следующими параметрами: * Первый член прогрессии: $$a_1 = 2$$ * Знаменатель прогрессии: $$q = 2$$ Сумма $$n$$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = a_1 * \frac{q^n - 1}{q - 1}$$ Нам нужно найти минимальное $$n$$, при котором $$S_n \geq 50000$$. Подставим известные значения: $$S_n = 2 * \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$$ Итак, нам нужно решить неравенство: $$2(2^n - 1) \geq 50000$$ Разделим обе части неравенства на 2: $$2^n - 1 \geq 25000$$ Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $$2^n \geq 25001$$ Чтобы найти $$n$$, необходимо взять логарифм по основанию 2 от обеих частей: $$n \geq \log_2{25001}$$ Так как $$2^{14} = 16384$$ и $$2^{15} = 32768$$, то $$n$$ должно быть равно 15, чтобы условие выполнялось. Поэтому, Мите потребуется 15 минут, чтобы набрать необходимое количество очков. Проверим: $$S_{15} = 2(2^{15} - 1) = 2(32768 - 1) = 2 * 32767 = 65534$$ Так как $$65534 \geq 50000$$, то это подтверждает наше решение. Ответ: Митя перейдет на следующий уровень через 15 минут.