MK = NK = 26, MN = 20, OE = 3 = ?

Решение:

Треугольник $$KNM$$ — равнобедренный, так как $$MK = NK$$. $$OE$$ — радиус вписанной окружности, перпендикулярный стороне $$MN$$ в точке касания $$E$$. Так как $$E$$ — середина $$MN$$, то $$ME = EN = \frac{MN}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OEN$$. По теореме Пифагора: $$ON^2 = OE^2 + EN^2$$.

В равнобедренном треугольнике $$KNM$$, высота $$KO$$ является также медианой и биссектрисой. $$KO$$ проходит через центр вписанной окружности $$O$$.

Для нахождения $$OE$$, рассмотрим подобные треугольники $$KNE$$ и $$ON E$$.

Треугольник $$KNM$$ является равнобедренным, $$KE$$ — высота. Найдем высоту $$KE$$ по теореме Пифагора из $$\triangle KNE$$: $$KE^2 = NK^2 - EN^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$$. $$KE = \sqrt{576} = 24$$.

Площадь $$\triangle KNM$$ равна $$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KE = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 24 = 240$$.

Полупериметр $$p = \frac{MK + NK + MN}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36$$.

Радиус вписанной окружности $$r = \frac{S}{p} = \frac{240}{36} = \frac{20}{3}$$.

В нашем случае $$OE$$ — это радиус вписанной окружности, значит $$OE = r = \frac{20}{3}$$.

Нам нужно найти $$OE \cdot 3$$:

$$OE \cdot 3 = \frac{20}{3} \cdot 3 = 20$$.

Ответ: 20.