MK = NK = 26 MN = 20 OE = ?

Решение:

Треугольник MKN является равнобедренным, так как MK = NK. OE является высотой, проведенной к основанию MN, и медианой. Следовательно, E — середина отрезка MN.

1. Найдём длину ME: \( ME = EN = \frac{MN}{2} = \frac{20}{2} = 10 \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник MKO. По теореме Пифагора: \( MK^2 = MO^2 + OK^2 \).
3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Точка O является центром вписанной окружности.
4. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности лежит на высоте.
5. Треугольник MEO является прямоугольным, где OE — радиус вписанной окружности.
6. Из подобия треугольников MKN и MEO (или используя свойства касательных и радиусов) можно найти OE.
7. Альтернативно, можно использовать формулу для радиуса вписанной окружности: \( r = \frac{S}{p} \), где S — площадь треугольника, p — полупериметр.
8. Площадь треугольника MKN: Высоту KO можно найти из \( MK^2 = ME^2 + EK^2 \) (если бы KE было известно).
9. Однако, OE является радиусом вписанной окружности.
10. В равнобедренном треугольнике высота KO, проведенная к основанию MN, делит его пополам.
11. Из подобия треугольников MKN и OEN: \( \frac{NK}{EN} = \frac{MK}{ME} = \frac{MN}{OE} \) — это неверное подобие.
12. Рассмотрим прямоугольный треугольник MEO. \( MO = \text{радиус описанной окружности} \) если O — центр описанной.
13. O — центр вписанной окружности. OE — радиус вписанной окружности.
14. В прямоугольном треугольнике MEO, \( MO^2 = ME^2 + OE^2 \) — это неверно.
15. Рассмотрим прямоугольный треугольник MEO. \( MK=NK=26, MN=20 \). \( ME=EN=10 \).
16. Высота KN (обозначим через h_k) в треугольнике MKN: \( h_k^2 = MK^2 - (MN/2)^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576 \). \( h_k = \sqrt{576} = 24 \).
17. Площадь треугольника MKN: \( S = \frac{1}{2} \times MN \times h_k = \frac{1}{2} \times 20 \times 24 = 240 \).
18. Полупериметр треугольника MKN: \( p = \frac{MK + NK + MN}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36 \).
19. Радиус вписанной окружности (OE): \( r = OE = \frac{S}{p} = \frac{240}{36} = \frac{20}{3} \).

Ответ: OE = 20/3.