MLKN – параллелограмм MN : ML = 2 : 1 S$$_{MNKL}$$ – ?

Ответ: 8√3

1. Обозначим ML = x, тогда MN = 2x.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆LMT. По условию MT = 4. Т.к. LM = x, то по теореме Пифагора можем найти LT: \[LT = \sqrt{x^2 - 4^2} = \sqrt{x^2 - 16}\]
3. Т.к. угол ∠LMN = 30°, то sin(30°) = LT/ML, а ML = LT/sin(30°). Учитывая, что sin(30°) = 1/2, получаем: \[x = 2\sqrt{x^2 - 16}\]
4. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[x^2 = 4(x^2 - 16)\] \[x^2 = 4x^2 - 64\] \[3x^2 = 64\] \[x^2 = \frac{64}{3}\] \[x = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}\]
5. Теперь найдём LT: \[LT = \sqrt{\frac{64}{3} - 16} = \sqrt{\frac{64 - 48}{3}} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}\]
6. Площадь параллелограмма равна произведению высоты LT на основание MN: \[S_{MNKL} = LT \cdot MN = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{64}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: 8√3