MN = 6 см; ∠KNM = 60°. Найти KN

Решение:

• Рассмотрим треугольник \( \triangle MON \). Так как \( MO = ON = R \) (радиус окружности), то \( \triangle MON \) - равнобедренный.
• Угол \( \angle MON \) - центральный и опирается на дугу MN, а угол \( \angle KNM \) - вписанный и опирается на ту же дугу. Значит, \( \angle MON = 2 \cdot \angle KNM = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \).
• Найдем углы при основании \( \triangle MON \): \( \angle OMN = \angle ONM = (180^\circ - 120^\circ):2 = 30^\circ \).
• Проведем высоту \( OH \) к стороне \( MN \). Так как \( \triangle MON \) - равнобедренный, то высота \( OH \) является и медианой. Значит, \( MH = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \) см.
• Рассмотрим \( \triangle MHO \) - прямоугольный. В нем \( \angle MHO = 90^\circ \), \( \angle OMH = 30^\circ \). Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, \( MO = 2 \cdot MH = 2 \cdot 3 = 6 \) см.
• Итак, \( MO = ON = 6 \) см, значит, \( \triangle MON \) - равносторонний, и \( MN = MO = ON = 6 \) см.
• Рассмотрим \( \triangle KON \). Он равнобедренный, так как \( KO = ON = R = 6 \) см. При этом \( \angle KNO = \angle MNO = 30^\circ \). Значит, \( \triangle KON \) - равносторонний, и \( KN = KO = ON = 6 \) см.

Ответ: KN = 6 см.