26 MN = 36см. Найдите МР, PN.

В прямоугольном треугольнике \(MKN\) катет \(KN\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит, он равен половине гипотенузы \(MN\).

\(KN = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(PKN\). В нем \(\angle K = 90^\circ\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), тогда \(\angle PNK + \angle KPN = 90^\circ\). Так как \(\angle KPN = 30^\circ\), то \(\angle PNK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(MPN\). В нем \(\angle N = 90^\circ\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), тогда \(\angle NMP + \angle MPN = 90^\circ\). Так как \(\angle PNK = 60^\circ\), то \(\angle NMP = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\). Значит, в прямоугольном треугольнике \(MPN\) катет \(PN\) лежит против угла в \(30^\circ\), значит, он равен половине гипотенузы \(MP\). Обозначим \(PN = x\), тогда \(MP = 2x\).

По теореме Пифагора:

\(MP^2 = PN^2 + MN^2\)

\((2x)^2 = x^2 + 18^2\)

\(4x^2 = x^2 + 324\)

\(3x^2 = 324\)

\(x^2 = 108\)

\(x = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\) см.

Тогда \(PN = 6\sqrt{3}\) см, а \(MP = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) см.

Ответ: \(MP = 12\sqrt{3}\), \(PN = 6\sqrt{3}\)