MNKL — прямоугольник со сторонами LK = 20 см, NK = 10 см, а Н — точка пересечения его диагоналей. Сколько точек пересечения имеет окружность с центром Н и радиусом 6 см с прямой MN?

Дано:

• Прямоугольник MNKL
• LK = 20 см
• NK = 10 см
• H — точка пересечения диагоналей
• Окружность с центром H и радиусом r = 6 см

Найти: Количество точек пересечения окружности с прямой MN.

Решение:

1. Находим координаты точек:
   Пусть точка M будет началом координат (0, 0). Тогда:
• M = (0, 0)
• N = (20, 0) (так как MN || LK и MN = LK = 20 см)
• K = (20, 10) (так как NK перпендикулярно MN и NK = 10 см)
• L = (0, 10) (так как ML || NK и ML = NK = 10 см)
2. Находим координаты центра окружности H:
   H — точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали пересекаются в середине.
• Координаты середины диагонали MK:
  ( (0 + 20) / 2, (0 + 10) / 2 ) = (10, 5)
• Координаты середины диагонали NL:
  ( (20 + 0) / 2, (0 + 10) / 2 ) = (10, 5)
• Следовательно, H = (10, 5)
3. Находим уравнение прямой MN:
   Прямая MN проходит через точки M(0, 0) и N(20, 0). Эта прямая совпадает с осью Ox.
• Уравнение прямой MN: y = 0
4. Находим уравнение окружности с центром H(10, 5) и радиусом r = 6 см:
• Уравнение окружности:
  (x - 10)² + (y - 5)² = 6²
• (x - 10)² + (y - 5)² = 36
5. Находим точки пересечения окружности и прямой MN:
   Подставим уравнение прямой MN (y = 0) в уравнение окружности:
• (x - 10)² + (0 - 5)² = 36
• (x - 10)² + (-5)² = 36
• (x - 10)² + 25 = 36
• (x - 10)² = 36 - 25
• (x - 10)² = 11
• x - 10 = ± √11
• x = 10 ± √11
6. Так как мы получили два различных значения x (10 + √11 и 10 - √11), это означает, что окружность пересекает прямую MN в двух точках.

Ответ: 2