Многочлен f(x) = x³ + ax² + bx + 1 удовлетворяет f'(1) = 0 и f(-2) = -9. Найдите а + b.

Решение:

Дана функция \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 \). Найдем ее производную:

\[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \]

По условию задачи:

1. \( f'(1) = 0 \):

\[ 3(1)^2 + 2a(1) + b = 0 \]

\[ 3 + 2a + b = 0 \]

\[ 2a + b = -3 \) (1)

2. \( f(-2) = -9 \):

\[ (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 1 = -9 \]

\[ -8 + 4a - 2b + 1 = -9 \]

\[ 4a - 2b - 7 = -9 \]

\[ 4a - 2b = -2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ 2a - b = -1 \) (2)

Теперь решим систему из двух уравнений:

\[ \begin{cases} 2a + b = -3 \\ 2a - b = -1 \end{cases} \]

Сложим уравнения (1) и (2):

\[ (2a + b) + (2a - b) = -3 + (-1) \]

\[ 4a = -4 \]

\[ a = -1 \]

Подставим \( a = -1 \) в уравнение (1):

\[ 2(-1) + b = -3 \]

\[ -2 + b = -3 \]

\[ b = -1 \]

Нам нужно найти \( a + b \):

\[ a + b = -1 + (-1) = -2 \]

Ответ: -2