Множество решений неравенства log0,6 (3x-9)/(x+1) ≥ 0 имеет вид

Question

Вопрос:

Множество решений неравенства log0,6 (3x-9)/(x+1) ≥ 0 имеет вид

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Данное неравенство является логарифмическим. Основание логарифма 0,6 меньше 1, поэтому при раскрытии логарифма знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не должен равняться нулю.

ОДЗ:
- $$ \frac{3x-9}{x+1} > 0 $$
- $$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $$
Для решения неравенства $ \frac{3x-9}{x+1} > 0 $ найдём корни числителя и знаменателя: $ 3x-9 = 0 \implies x = 3 $ и $ x+1 = 0 \implies x = -1 $.
Рассмотрим интервалы, на которые эти корни делят числовую ось: $ (-\infty; -1) $, $ (-1; 3) $ и $ (3; \infty) $.
Проверим знак выражения $ \frac{3x-9}{x+1} $ на каждом интервале:
- При $ x < -1 $ (например, $ x = -2 $): $ \frac{3(-2)-9}{-2+1} = \frac{-15}{-1} = 15 > 0 $.
- При $ -1 < x < 3 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{3(0)-9}{0+1} = \frac{-9}{1} = -9 < 0 $.
- При $ x > 3 $ (например, $ x = 4 $): $ \frac{3(4)-9}{4+1} = \frac{3}{5} > 0 $.
Следовательно, $ \frac{3x-9}{x+1} > 0 $ при $ x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty) $.
Решаем само неравенство:
$$ \log_{0,6} \frac{3x-9}{x+1} \ge 0 $$
Так как основание логарифма $ 0,6 < 1 $, то:
$$ \frac{3x-9}{x+1} \le (0,6)^0 $$
$$ \frac{3x-9}{x+1} \le 1 $$
$$ \frac{3x-9}{x+1} - 1 \le 0 $$
$$ \frac{3x-9 - (x+1)}{x+1} \le 0 $$
$$ \frac{3x-9 - x - 1}{x+1} \le 0 $$
$$ \frac{2x-10}{x+1} \le 0 $$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $ 2x-10 = 0 \implies x = 5 $ и $ x+1 = 0 \implies x = -1 $.
Рассмотрим интервалы: $ (-\infty; -1) $, $ (-1; 5) $ и $ (5; \infty) $.
Проверим знак выражения $ \frac{2x-10}{x+1} $ на каждом интервале:
- При $ x < -1 $ (например, $ x = -2 $): $ \frac{2(-2)-10}{-2+1} = \frac{-14}{-1} = 14 > 0 $.
- При $ -1 < x < 5 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{2(0)-10}{0+1} = \frac{-10}{1} = -10 < 0 $.
- При $ x > 5 $ (например, $ x = 6 $): $ \frac{2(6)-10}{6+1} = \frac{2}{7} > 0 $.
Неравенство $ \frac{2x-10}{x+1} \le 0 $ выполняется при $ x \in (-1; 5] $.
Совместим полученные решения с ОДЗ:
Нам нужно пересечение множества $ x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty) $ (из ОДЗ) и множества $ x \in (-1; 5] $ (решение неравенства).
Пересечение этих множеств: $ (3; \infty) \cap (-1; 5] = (3; 5] $.

Ответ: (3; 5].