Модуль «Алгебра» 1. Решите уравнение: а)3(x - 2)= x + 2; б) (x - 5)(2x + 7) = 0. 2. а) Постройте график функции y = 3х – 7; б) Принадлежит ли графику функции точка (5; -8)? 3. Упростите выражение: (3m - 7n)² - 9m(m - 5n). 4. Решите систему уравнений: { x - 5y = 8, 2x + 4y = 30. Модуль «Геометрия» 5. Выберите верные утверждения: 1)Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая. 4)Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то прямые параллельны. В ответ запишите номера верных утверждений в порядке возрастания. 6. Решите задачу: В ∆ABC проведена биссектриса AL, ∠ALC = 121°, ∠ABC = 101°. Найдите ∠ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Модуль «Алгебра»

1. 
   

   а) Решим уравнение \( 3(x - 2) = x + 2 \):

   
   

   \[ 3x - 6 = x + 2 \]\[ 3x - x = 2 + 6 \]\[ 2x = 8 \]\[ x = 4 \]

   
   

   б) Решим уравнение \( (x - 5)(2x + 7) = 0 \):

   
   

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

   
   

   \[ x - 5 = 0 \quad \text{или} \quad 2x + 7 = 0 \]\[ x = 5 \quad \text{или} \quad 2x = -7 \]\[ x = 5 \quad \text{или} \quad x = -3.5 \]

   
   


2. 
   

   а) Построим график функции \( y = 3x - 7 \). Для этого найдём две точки:

   
   
   
   
   • Если \( x = 0 \), то \( y = 3 · 0 - 7 = -7 \). Точка (0; -7).
   
   
   • Если \( y = 0 \), то \( 0 = 3x - 7 \), \( 3x = 7 \), \( x = \frac{7}{3} \). Точка (\(\frac{7}{3}\); 0).
   
   
   
   
   

   б) Проверим, принадлежит ли точка (5; -8) графику функции \( y = 3x - 7 \).

   
   

   Подставим координаты точки в уравнение:

   
   

   \[ -8 = 3 · 5 - 7 \]\[ -8 = 15 - 7 \]\[ -8 = 8 \]

   
   

   Равенство неверно. Значит, точка (5; -8) не принадлежит графику функции.

   
   


3. 
   

   Упростим выражение \( (3m - 7n)² - 9m(m - 5n) \):

   
   

   \[ (3m - 7n)² - 9m(m - 5n) = ( (3m)² - 2 · 3m · 7n + (7n)² ) - ( 9m · m - 9m · 5n ) \]\[ = (9m² - 42mn + 49n²) - (9m² - 45mn) \]\[ = 9m² - 42mn + 49n² - 9m² + 45mn \]\[ = (9m² - 9m²) + (-42mn + 45mn) + 49n² \]\[ = 3mn + 49n² \]

   
   


4. 
   

   Решим систему уравнений:

   
   

   \[ \begin{cases} x - 5y = 8 \\ 2x + 4y = 30 \end{cases} \]

   
   

   Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 8 + 5y \).

   
   

   Подставим во второе уравнение:

   
   

   \[ 2(8 + 5y) + 4y = 30 \]\[ 16 + 10y + 4y = 30 \]\[ 14y = 30 - 16 \]\[ 14y = 14 \]\[ y = 1 \]

   
   

   Найдем \( x \):

   
   

   \[ x = 8 + 5 · 1 = 8 + 5 = 13 \]

   
   

   Проверка:

   
   

   \[ 13 - 5 · 1 = 13 - 5 = 8 \]\[ 2 · 13 + 4 · 1 = 26 + 4 = 30 \]

   
   

Модуль «Геометрия»

1. 
   

   Верные утверждения:

   
   
   
   
   • 1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°. (Верно, вертикальные углы равны).
     
   
   
   • 4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то прямые параллельны. (Верно, это признак параллельности прямых).
     
   
   
   
   

   Номера верных утверждений в порядке возрастания: 1, 4.

   
   


2. 
   

   Дано:

   
   

   В ∆ABC проведена биссектриса AL.

   
   

   \( ∠ALC = 121° \)

   
   

   \( ∠ABC = 101° \)

   
   

   Найти:

   
   

   \( ∠ACB \)

   
   
   
   A
   B
   C
   
   L
   121°
   101°
   
   

   Решение:

   
   

   1. Угол \( ∠ALB \) смежный с углом \( ∠ALC \), поэтому:

   
   

   \[ ∠ALB = 180° - ∠ALC = 180° - 121° = 59° \]

   
   

   2. В треугольнике \( ∆ALB \) сумма углов равна 180°:

   
   

   \[ ∠LAB + ∠ABL + ∠ALB = 180° \]\[ ∠LAB + 101° + 59° = 180° \]\[ ∠LAB + 160° = 180° \]\[ ∠LAB = 20° \]

   
   

   3. AL — биссектриса угла \( ∠BAC \), значит:

   
   

   \[ ∠BAC = 2 · ∠LAB = 2 · 20° = 40° \]

   
   

   4. В треугольнике \( ∆ABC \) сумма углов равна 180°:

   
   

   \[ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° \]\[ 40° + 101° + ∠ACB = 180° \]\[ 141° + ∠ACB = 180° \]\[ ∠ACB = 180° - 141° \]\[ ∠ACB = 39° \]

   
   

   Ответ: 39°.