Модуль «Алгебра» 1. Решите уравнение: а)5(х + 3) = x - 3; б) (x + 8)(3x - 21) = 0. 2. а) Постройте график функции y = -3x + 7; б) Принадлежит ли графику функции точка (5; -8)? 3. Упростите выражение: (2x - 5y)² – 6 x(x – 3y). 4. Решите систему уравнений: ( x + 2y = 4, (3x - 4y = 2. Модуль «Геометрия» 5. Выберите верные утверждения: 1) Через любую точку проходит не более одной прямой. 2) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, BC = 4, AC = 5, угол 3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосх 4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. В ответ запишите номера верных утверждений в порядке возрастания. 6. Решите задачу: В ДАВС проведена биссектриса AL, ∠ALC = 78°, ∠ABC = 52°. Найдите ∠ACB. Ответ дайте в градусах.

Модуль «Алгебра»

1. Решение уравнений:

а) \( 5(x + 3) = x - 3 \)
\( 5x + 15 = x - 3 \)
\( 4x = -18 \)
\( x = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2} = -4.5 \)

б) \( (x + 8)(3x - 21) = 0 \)
\( x + 8 = 0 \) или \( 3x - 21 = 0 \)
\( x = -8 \) или \( 3x = 21 \)
\( x = -8 \) или \( x = 7 \)

Ответ: а) \( x = -4.5 \); б) \( x = -8 \) или \( x = 7 \).

2. График функции и точка:

а) График функции \( y = -3x + 7 \) — это прямая. Для построения найдём две точки:

• При \( x = 0 \), \( y = -3(0) + 7 = 7 \). Точка (0; 7).
• При \( x = 1 \), \( y = -3(1) + 7 = 4 \). Точка (1; 4).

б) Проверим, принадлежит ли точка (5; -8) графику функции:

Подставим \( x = 5 \) в уравнение \( y = -3x + 7 \):

\( y = -3(5) + 7 = -15 + 7 = -8 \)

Так как при \( x = 5 \) значение \( y = -8 \) совпадает с координатой точки, то точка (5; -8) принадлежит графику.

Ответ: а) График — прямая, проходящая через точки (0; 7) и (1; 4). б) Да, принадлежит.

3. Упрощение выражения:

\( (2x - 5y)² – 6x(x – 3y) \)
\( = (4x² - 2 · 2x · 5y + 25y²) - (6x² - 18xy) \)
\( = 4x² - 20xy + 25y² - 6x² + 18xy \)
\( = (4x² - 6x²) + (-20xy + 18xy) + 25y² \)
\( = -2x² - 2xy + 25y² \)

Ответ: \( -2x² - 2xy + 25y² \).

4. Решение системы уравнений:

Система: \( \begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases} \)

Из первого уравнения выразим \( x \): \( x = 4 - 2y \).

Подставим во второе уравнение:

\( 3(4 - 2y) - 4y = 2 \)
\( 12 - 6y - 4y = 2 \)
\( -10y = 2 - 12 \)
\( -10y = -10 \)
\( y = 1 \)

Найдем \( x \):

\( x = 4 - 2(1) = 4 - 2 = 2 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).

Модуль «Геометрия»

5. Верные утверждения:

1) Через любую точку проходит не более одной прямой. — Неверно. Через точку проходит бесконечное множество прямых.

2) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, BC = 4, AC = 5, угол...

Это прямоугольный треугольник, так как \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \) (теорема Пифагора).

3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90°. — Верно. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

4) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. — Верно.

Ответ: 3, 4.

6. Решение задачи:

В \( \triangle ABC \) проведена биссектриса \( AL \). Дано: \( \angle ALC = 78° \), \( \angle ABC = 52° \).

Найдем \( \angle ALB \):

\( \angle ALB = 180° - \angle ALC = 180° - 78° = 102° \).

В \( \triangle ALB \) сумма углов равна 180°:

\( \angle BAL + \angle ABL + \angle ALB = 180° \)
\( \angle BAL + 52° + 102° = 180° \)
\( \angle BAL + 154° = 180° \)
\( \angle BAL = 180° - 154° = 26° \)

Так как \( AL \) — биссектриса, то \( \angle BAL = \angle CAL = 26° \).

В \( \triangle ABC \) сумма углов равна 180°:

\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)
\( (\angle BAL + \angle CAL) + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)
\( (26° + 26°) + 52° + \angle ACB = 180° \)
\( 52° + 52° + \angle ACB = 180° \)
\( 104° + \angle ACB = 180° \)
\( \angle ACB = 180° - 104° = 76° \)

Ответ: 76.