258. Монету бросают до тех пор, пока не появится орёл. С какой вероятностью придётся сде- лать: а) больше 3 бросков; б) меньше 5 бросков; в) от 3 до 5 бросков?

Рассмотрим данную задачу с точки зрения теории вероятностей. Вероятность выпадения орла при каждом броске монеты равна $$1/2$$. Вероятность выпадения решки также равна $$1/2$$.

а) Вероятность, что потребуется больше 3 бросков, означает, что первые 3 броска должны быть решкой. Вероятность этого события равна:

$$P(>3) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125$$

б) Вероятность, что потребуется меньше 5 бросков, означает, что орёл выпадет в одном из первых четырёх бросков. Проще рассмотреть противоположное событие: орёл не выпадет ни в одном из первых 4 бросков, то есть все 4 броска будут решкой. Вероятность этого события:

$$P(R=4) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} = 0.0625$$

Тогда вероятность, что потребуется меньше 5 бросков:

$$P(<5) = 1 - P(R=4) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0.9375$$

в) Вероятность, что потребуется от 3 до 5 бросков, означает, что орёл выпадет на 3, 4 или 5 броске. Это можно вычислить как сумму вероятностей выпадения орла на каждом из этих бросков, при условии, что предыдущие броски были решкой:

• 3 броска: РРO = $$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0.125$$
• 4 броска: РРРО = $$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16} = 0.0625$$
• 5 бросков: РРРРО = $$(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} = 0.03125$$

Суммарная вероятность:

$$P(3 \le x \le 5) = \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} = \frac{4}{32} + \frac{2}{32} + \frac{1}{32} = \frac{7}{32} = 0.21875$$

Ответ: а) 0.125; б) 0.9375; в) 0.21875