4. Моторная лодка прошла 48 км по течению реки и 70 км против течения, затратив на путь по течению на 1 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: 16 км/ч

Решение:

Пусть x – собственная скорость лодки (км/ч).

Тогда:

• x + 2 – скорость лодки по течению реки;
• x − 2 – скорость лодки против течения реки.

Известно, что лодка прошла 48 км по течению и 70 км против течения, при этом на путь по течению она затратила на 1 час меньше, чем на путь против течения. Составим уравнение:

\[\frac{70}{x - 2} - \frac{48}{x + 2} = 1\]

Решим уравнение:

\[\frac{70(x + 2) - 48(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = 1\] \[\frac{70x + 140 - 48x + 96}{x^2 - 4} = 1\] \[\frac{22x + 236}{x^2 - 4} = 1\]

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

\[22x + 236 = x^2 - 4\]

Перенесем все в правую часть:

\[x^2 - 22x - 240 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = b² − 4ac

D = (−22)² − 4 · 1 · (−240) = 484 + 960 = 1444

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 + \sqrt{1444}}{2} = \frac{22 + 38}{2} = \frac{60}{2} = 30\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 - \sqrt{1444}}{2} = \frac{22 - 38}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то корень x₂ = -8 не подходит.

Проверим корень x₁ = 30:

x₁ = 30 км/ч — удовлетворяет условию задачи.

Тогда:

• 30 + 2 = 32 км/ч – скорость лодки по течению реки;
• 30 − 2 = 28 км/ч – скорость лодки против течения реки.

Подставим найденные значения в исходное уравнение:

\[\frac{70}{28} - \frac{48}{32} = 1\] \[2.5 - 1.5 = 1\] \[1 = 1\]

Следовательно, x = 30 км/ч – собственная скорость лодки.

Вычислим искомую скорость лодки:

\[v = x - 14 = 30 - 14 = 16 \frac{км}{ч}\]

Ответ: 16 км/ч