873. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение: Пусть $$v$$ - скорость лодки в стоячей воде (км/ч). Тогда скорость лодки по течению реки равна $$v+3$$ км/ч, а против течения $$v-3$$ км/ч. Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{30}{v+3}$$ часов, а время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{30}{v-3}$$ часов. Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 ч 20 мин, что равно $$5 + \frac{20}{60} = 5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$$ часов. Составляем уравнение: $$\frac{30}{v+3} + \frac{30}{v-3} = \frac{16}{3}$$ Умножаем обе части уравнения на $$3(v+3)(v-3)$$: $$30 \cdot 3(v-3) + 30 \cdot 3(v+3) = 16(v+3)(v-3)$$ $$90(v-3) + 90(v+3) = 16(v^2 - 9)$$ $$90v - 270 + 90v + 270 = 16v^2 - 144$$ $$180v = 16v^2 - 144$$ $$16v^2 - 180v - 144 = 0$$ Делим обе части уравнения на 4: $$4v^2 - 45v - 36 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$v = \frac{45 \pm \sqrt{(-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36)}}{2 \cdot 4}$$ $$v = \frac{45 \pm \sqrt{2025 + 576}}{8}$$ $$v = \frac{45 \pm \sqrt{2601}}{8}$$ $$v = \frac{45 \pm 51}{8}$$ Имеем два возможных значения для v: $$v_1 = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12$$ $$v_2 = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 12$$ км/ч. Ответ: **12 км/ч**