Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение:

Пусть \(v\) — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v + 3 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v - 3 \) км/ч.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{36}{v+3} \) часов.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{36}{v-3} \) часов.

Общее время в пути: \( t_1 + t_2 = 5 \) часов.

Составим уравнение:

\( \frac{36}{v+3} + \frac{36}{v-3} = 5 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{36(v-3) + 36(v+3)}{(v+3)(v-3)} = 5 \)

\( \frac{36v - 108 + 36v + 108}{v^2 - 9} = 5 \)

\( \frac{72v}{v^2 - 9} = 5 \)

\( 72v = 5(v^2 - 9) \)

\( 72v = 5v^2 - 45 \)

\( 5v^2 - 72v - 45 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \)

\( v_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \)

\( v_2 = \frac{72 - 78}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, берём положительный корень.

Проверка:

Скорость по течению: \( 15 + 3 = 18 \) км/ч.

Время по течению: \( \frac{36}{18} = 2 \) часа.

Скорость против течения: \( 15 - 3 = 12 \) км/ч.

Время против течения: \( \frac{36}{12} = 3 \) часа.

Общее время: \( 2 + 3 = 5 \) часов.

Условие выполнено.

Ответ: 15 км/ч.