Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Давай разберемся с этой задачей по шагам.

1. Обозначим переменные:
• Пусть $$v$$ — собственная скорость лодки (то, что нам нужно найти).
• Скорость лодки по течению: $$v + 4$$ км/ч.
• Скорость лодки против течения: $$v - 4$$ км/ч.
• Расстояние туда и обратно: $$S = 117$$ км.
2. Время в пути:
• Время в пути против течения: $$t_{против} = \frac{117}{v - 4}$$ часов.
• Время в пути по течению: $$t_{по} = \frac{117}{v + 4}$$ часов.
3. Составим уравнение:
• По условию, на обратный путь (по течению) лодка затратила на 2 часа меньше, чем против течения. Значит:
$$ \frac{117}{v - 4} - \frac{117}{v + 4} = 2 $$
4. Решим уравнение:
• Приведем дроби к общему знаменателю $$(v-4)(v+4) = v^2 - 16$$:
$$ \frac{117(v + 4) - 117(v - 4)}{v^2 - 16} = 2 $$
5. Упростим числитель:
• $$117v + 468 - 117v + 468 = 936$$.
• Получаем:
$$ \frac{936}{v^2 - 16} = 2 $$
6. Далее:
• $$936 = 2(v^2 - 16)$$
• $$468 = v^2 - 16$$
• $$v^2 = 468 + 16$$
• $$v^2 = 484$$
• $$v = \sqrt{484}$$
• $$v = 22$$ км/ч

Важно: Скорость лодки против течения $$(v-4)$$ должна быть положительной, так как лодка прошла расстояние. $$22 - 4 = 18 > 0$$, значит, решение подходит.

Ответ: 22 км/ч.