Моторная лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 ч меньше. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Дано:

• Расстояние (S) = 120 км
• Скорость течения реки (v_теч) = 1 км/ч
• Разница во времени (Δt) = 2 ч

Найти:

• Собственная скорость лодки (v_лодки) — ?

Решение:

Обозначим собственную скорость лодки как $$v_{лодки}$$ км/ч.

Скорость лодки против течения: $$v_{против} = v_{лодки} - v_{теч} = (v_{лодки} - 1)$$ км/ч.

Скорость лодки по течению: $$v_{по} = v_{лодки} + v_{теч} = (v_{лодки} + 1)$$ км/ч.

Время в пути против течения: $$t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{120}{v_{лодки} - 1}$$ ч.

Время в пути по течению: $$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{120}{v_{лодки} + 1}$$ ч.

По условию, на обратный путь (по течению) затрачено на 2 часа меньше:

$$t_{против} - t_{по} = 2$$

$$\frac{120}{v_{лодки} - 1} - \frac{120}{v_{лодки} + 1} = 2$$

Умножим обе части уравнения на $$(v_{лодки} - 1)(v_{лодки} + 1)$$:

$$120(v_{лодки} + 1) - 120(v_{лодки} - 1) = 2(v_{лодки} - 1)(v_{лодки} + 1)$$

$$120v_{лодки} + 120 - 120v_{лодки} + 120 = 2(v_{лодки}^2 - 1)$$

$$240 = 2v_{лодки}^2 - 2$$

$$2v_{лодки}^2 = 242$$

$$v_{лодки}^2 = 121$$

$$v_{лодки} = \sqrt{121}$$

$$v_{лодки} = 11$$ км/ч (скорость не может быть отрицательной)

Проверим:

Время против течения: $$\frac{120}{11 - 1} = \frac{120}{10} = 12$$ ч.

Время по течению: $$\frac{120}{11 + 1} = \frac{120}{12} = 10$$ ч.

Разница во времени: $$12 - 10 = 2$$ ч. Условие выполнено.

Ответ: 11 км/ч