Моторная лодка прошла против течения реки 140 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (в км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v - 4 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v + 4 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_1 = \frac{140}{v - 4} \) часов.

Время в пути по течению: \( t_2 = \frac{140}{v + 4} \) часов.

По условию, на обратный путь (по течению) было затрачено на 2 часа меньше, чем на путь против течения:

\( t_1 - t_2 = 2 \)

\( \frac{140}{v - 4} - \frac{140}{v + 4} = 2 \)

Умножим обе части уравнения на \( (v - 4)(v + 4) \) для избавления от знаменателей:

\( 140(v + 4) - 140(v - 4) = 2(v - 4)(v + 4) \)

\( 140v + 560 - 140v + 560 = 2(v^2 - 16) \)

\( 1120 = 2v^2 - 32 \)

\( 2v^2 = 1120 + 32 \)

\( 2v^2 = 1152 \)

\( v^2 = \frac{1152}{2} \)

\( v^2 = 576 \)

\( v = \sqrt{576} \)

\( v = 24 \)

Проверим условие: \( v = 24 > 4 \), что означает, что лодка может двигаться против течения.

Скорость лодки в неподвижной воде равна 24 км/ч.

Время в пути против течения: \( t_1 = \frac{140}{24 - 4} = \frac{140}{20} = 7 \) часов.

Время в пути по течению: \( t_2 = \frac{140}{24 + 4} = \frac{140}{28} = 5 \) часов.

Разница во времени: \( 7 - 5 = 2 \) часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 24 км/ч.