Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь — за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

Question

Моторная лодка путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь — за 5 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если 70 км по течению она проходит за 3,5 ч?

Фото задания

Accepted Answer

Задание 1. Скорость лодки

Дано:

Время в пути по течению: \( t_1 = 4 \) ч.
Время в пути против течения: \( t_2 = 5 \) ч.
Расстояние: \( S = 70 \) км.
Время на прохождение 70 км по течению: \( t_{70} = 3.5 \) ч.

Найти: скорость лодки в стоячей воде \( V_{лодки} \).

Решение:

Сначала найдем скорость лодки по течению, используя данные о 70 км: \[ V_{по течению} = \frac{S}{t_{70}} = \frac{70 \text{ км}}{3.5 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \]
Теперь найдем скорость течения реки. Скорость по течению равна сумме скорости лодки в стоячей воде и скорости течения: \[ V_{по течению} = V_{лодки} + V_{течения} \]. Известно, что \( V_{по течению} = 20 \) км/ч.
Найдем скорость лодки в стоячей воде, используя данные о полном пути туда и обратно. Пусть \( V_{лодки} \) — скорость лодки в стоячей воде, а \( V_{течения} \) — скорость течения.
Тогда \[ V_{по течению} = V_{лодки} + V_{течения} \] и \[ V_{против течения} = V_{лодки} - V_{течения} \].
Из первого уравнения: \[ 20 = V_{лодки} + V_{течения} \]. Отсюда \[ V_{течения} = 20 - V_{лодки} \].
Подставим это во второе уравнение. Общее расстояние туда и обратно равно \( S_{общ} = 2 \times 70 = 140 \) км.
Время движения по течению \( t_1 = 4 \) ч, время движения против течения \( t_2 = 5 \) ч.
Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения: \[ S_{общ} = (V_{лодки} + V_{течения}) \times t_1 = (V_{лодки} - V_{течения}) \times t_2 \].
Подставим значения: \[ 140 = (V_{лодки} + V_{течения}) \times 4 \] и \[ 140 = (V_{лодки} - V_{течения}) \times 5 \].
Из этих уравнений получим: \[ V_{лодки} + V_{течения} = \frac{140}{4} = 35 \] км/ч.
И \[ V_{лодки} - V_{течения} = \frac{140}{5} = 28 \] км/ч.
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( V_{лодки} + V_{течения} = 35 \)
- \( V_{лодки} - V_{течения} = 28 \)
Сложим эти два уравнения: \( (V_{лодки} + V_{течения}) + (V_{лодки} - V_{течения}) = 35 + 28 \).
\( 2 V_{лодки} = 63 \).
\( V_{лодки} = \frac{63}{2} = 31.5 \) км/ч.
Проверим скорость течения: \( V_{течения} = 35 - 31.5 = 3.5 \) км/ч.
Убедимся, что скорость по течению равна 20 км/ч: \( V_{лодки} + V_{течения} = 31.5 + 3.5 = 35 \) км/ч.
Обратите внимание: в условии задачи есть два противоречивых набора данных. Первый набор: "путь по течению... проходит за 4 ч, а обратный путь — за 5 ч". Второй набор: "70 км по течению она проходит за 3.5 ч".
Если исходить из второго набора данных (70 км за 3.5 ч), то скорость по течению = 70 / 3.5 = 20 км/ч.
Если использовать первый набор данных (4 часа по течению, 5 часов против течения), то из системы уравнений выше мы получили скорость лодки 31.5 км/ч и скорость течения 3.5 км/ч.
При скорости лодки 31.5 км/ч и скорости течения 3.5 км/ч, скорость по течению составит 31.5 + 3.5 = 35 км/ч.
Расстояние 70 км по течению при скорости 35 км/ч будет пройдено за 70 / 35 = 2 часа, что противоречит условию "3.5 ч".
Следовательно, задача содержит противоречие. Решим задачу, опираясь на условие, что "70 км по течению она проходит за 3.5 ч", и найдем скорость лодки в стоячей воде, но придется игнорировать время 4 ч и 5 ч, либо предположить, что 70 км - это не весь путь.
Если принять, что 70 км - это весь путь туда и обратно:
Тогда скорость по течению = 70 км / 3.5 ч = 20 км/ч.
Время против течения = 70 км / (20 - V_{течения}) = T_{против}.
Общее время = 3.5 + T_{против}.
Из условия "путь по течению от одной пристани до другой проходит за 4 ч, а обратный путь — за 5 ч", мы можем рассчитать скорость лодки.
\( V_{лодки} + V_{течения} = \frac{S}{4} \)
\( V_{лодки} - V_{течения} = \frac{S}{5} \)
Складываем: \( 2 V_{лодки} = S \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) = S \left( \frac{5+4}{20} \right) = S \frac{9}{20} \)
\( V_{лодки} = \frac{9 S}{40} \)
Вычитаем: \( 2 V_{течения} = S \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = S \left( \frac{5-4}{20} \right) = S \frac{1}{20} \)
\( V_{течения} = \frac{S}{40} \)
Теперь подставим \( S = 70 \) км:
\( V_{лодки} = \frac{9 \times 70}{40} = \frac{9 \times 7}{4} = \frac{63}{4} = 15.75 \) км/ч.
\( V_{течения} = \frac{70}{40} = \frac{7}{4} = 1.75 \) км/ч.
Скорость по течению: \( 15.75 + 1.75 = 17.5 \) км/ч.
Время на 70 км по течению: \( 70 / 17.5 = 4 \) часа. Это противоречит условию "3.5 ч".
Наиболее вероятное решение, если предположить, что "70 км" - это расстояние, а "3.5 ч" - время, затраченное на это расстояние по течению, и игнорировать время "4 ч" и "5 ч" как неверные или относящиеся к другому расстоянию.
Скорость лодки по течению: \( V_{по течению} = \frac{70 \text{ км}}{3.5 \text{ ч}} = 20 \text{ км/ч} \).
Пусть \( V_{лодки} \) - скорость лодки в стоячей воде, \( V_{течения} \) - скорость течения.
\( V_{лодки} + V_{течения} = 20 \)
Теперь нам нужно найти \( V_{лодки} \). Для этого нам нужно второе уравнение, которое можно получить из времени обратного пути. Если принять, что время обратного пути (на том же расстоянии 70 км) составляет 5 часов, как указано в первой части условия, то:
\( V_{против течения} = \frac{70 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 14 \text{ км/ч} \).
\( V_{лодки} - V_{течения} = 14 \).
Теперь решаем систему:
- \( V_{лодки} + V_{течения} = 20 \)
- \( V_{лодки} - V_{течения} = 14 \)
Сложим уравнения: \( 2 V_{лодки} = 34 \).
\( V_{лодки} = 17 \) км/ч.
Проверим скорость течения: \( V_{течения} = 20 - 17 = 3 \) км/ч.
Скорость против течения: \( 17 - 3 = 14 \) км/ч.
Время на 70 км по течению: \( 70 / (17+3) = 70 / 20 = 3.5 \) ч.
Время на 70 км против течения: \( 70 / (17-3) = 70 / 14 = 5 \) ч.
Эти значения согласуются с условием задачи.

Ответ: скорость лодки в стоячей воде 17 км/ч.