3. Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ ч.

Ответ: 12 км/ч

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим общее время в пути. Лодка вышла в 10:00 и вернулась в 18:00, значит, общее время в пути составляет 8 часов.
• Шаг 2: Вычислим время, которое лодка провела в пункте B. Это 2 часа 30 минут.
• Шаг 3: Найдем чистое время движения лодки, вычитая время стоянки из общего времени: 8 часов - 2.5 часа = 5.5 часов.
• Шаг 4: Пусть x км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки по течению равна (x + 1) км/ч, а против течения (x - 1) км/ч.
• Шаг 5: Составим уравнение, учитывая, что время движения в пункт B и обратно в пункт A равно 5.5 часам: \[\frac{30}{x + 1} + \frac{30}{x - 1} = 5.5\]
• Шаг 6: Решим уравнение:
  Показать пошаговые вычисления

  1. Умножим обе части уравнения на (x + 1)(x - 1), чтобы избавиться от знаменателей: \[30(x - 1) + 30(x + 1) = 5.5(x^2 - 1)\]
  2. Раскроем скобки и упростим: \[30x - 30 + 30x + 30 = 5.5x^2 - 5.5\] \[60x = 5.5x^2 - 5.5\]
  3. Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение: \[5.5x^2 - 60x - 5.5 = 0\]
  4. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[11x^2 - 120x - 11 = 0\]
  5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-120)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-11) = 14400 + 484 = 14884\] \[\sqrt{D} = 122\]
  6. Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{120 + 122}{22} = \frac{242}{22} = 11\] \[x_2 = \frac{120 - 122}{22} = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11}\]
  7. Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.
• Шаг 7: Таким образом, собственная скорость лодки равна 11 км/ч. Но нужно учесть течение, которое составляет 1 км/ч. Значит, общая скорость лодки: 11 + 1 = 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч