Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 20 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость лодки (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 6 км/ч.

Решение:

• Шаг 1: Определим время, которое лодка затратила на путь из пункта А в пункт В и обратно.

  Лодка вышла из пункта А в 10:00 и вернулась в пункт А в 15:00. Значит, общее время в пути составило 5 часов.
  Однако, в пункте В лодка пробыла 1 час 30 минут. Следовательно, чистое время движения лодки:

  5 ч - 1.5 ч = 3.5 ч

• Шаг 2: Пусть x км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки по течению реки будет (x + 6) км/ч, а против течения (x - 6) км/ч.
• Шаг 3: Время, затраченное на путь из пункта А в пункт В (по течению) равно \[\frac{20}{x + 6}\] часов, а время на обратный путь (против течения) равно \[\frac{20}{x - 6}\] часов.
• Шаг 4: Составим уравнение, зная, что общее время движения лодки составляет 3.5 часа: \[\frac{20}{x + 6} + \frac{20}{x - 6} = 3.5\]
• Шаг 5: Решим уравнение:
  Показать решение уравнения

  Умножим обе части уравнения на \[(x + 6)(x - 6)\] для избавления от дробей: \[20(x - 6) + 20(x + 6) = 3.5(x^2 - 36)\] \[20x - 120 + 20x + 120 = 3.5x^2 - 126\] \[40x = 3.5x^2 - 126\] Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение: \[3.5x^2 - 40x - 126 = 0\] Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \[7x^2 - 80x - 252 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-80)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-252) = 6400 + 7056 = 13456\] Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{80 + \sqrt{13456}}{2 \cdot 7} = \frac{80 + 116}{14} = \frac{196}{14} = 14\] \[x_2 = \frac{80 - \sqrt{13456}}{2 \cdot 7} = \frac{80 - 116}{14} = \frac{-36}{14} < 0\] (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

• Шаг 6: Таким образом, собственная скорость лодки равна 14 км/ч.

Ответ: 14