Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 36 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 того же дня. Определите собственную скорость лодки (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 5 км/ч.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим время, затраченное на движение. Лодка вышла в 10:00 и вернулась в 19:00, значит, общее время в пути составило 9 часов.
• Шаг 2: Вычтем время стоянки. Лодка стояла 2 часа 30 минут, или 2.5 часа. Таким образом, чистое время движения составило 9 - 2.5 = 6.5 часов.
• Шаг 3: Пусть x - собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению будет x + 5, а против течения x - 5.
• Шаг 4: Составим уравнение, учитывая, что расстояние в одну сторону равно 36 км: \[\frac{36}{x + 5} + \frac{36}{x - 5} = 6.5\]
• Шаг 5: Решим уравнение:
  Показать решение уравнения

  • Умножим обе части уравнения на \[(x + 5)(x - 5)\]: \[36(x - 5) + 36(x + 5) = 6.5(x^2 - 25)\]
  • Раскроем скобки: \[36x - 180 + 36x + 180 = 6.5x^2 - 162.5\]
  • Упростим: \[72x = 6.5x^2 - 162.5\]
  • Перенесем все в одну сторону: \[6.5x^2 - 72x - 162.5 = 0\]
  • Умножим на 2 для избавления от десятичных дробей: \[13x^2 - 144x - 325 = 0\]
  • Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-144)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-325) = 20736 + 16900 = 37636\]
  • Найдем корни: \[x = \frac{144 \pm \sqrt{37636}}{2 \cdot 13} = \frac{144 \pm 194}{26}\]
  • Получаем два корня: \[x_1 = \frac{144 + 194}{26} = \frac{338}{26} = 13\] \[x_2 = \frac{144 - 194}{26} = \frac{-50}{26} \approx -1.92\]
  • Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 13 км/ч