Можно ли на параболе у = х² отметить точки А, В, С, D, а на параболе у = 2х2 – точки E, F, G, H так, чтобы выпуклые четырехугольники ABCD и EFGH оказались равными?

Ответ: можно.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Обозначения

  Пусть вершины четырехугольника ABCD имеют координаты:

  • A(a; a²)
  • B(b; b²)
  • C(-a; a²)
  • D(-b; b²)

  Вершины четырехугольника EFGH имеют координаты:

  • E(a; 2a²)
  • F(b; 2b²)
  • G(-a; 2a²)
  • H(-b; 2b²)
• Шаг 2: Анализ симметрии

  Заметим, что ABCD и EFGH являются равнобедренными трапециями, основания которых параллельны оси Ox, а ось Oy является осью симметрии.

• Шаг 3: Условие равенства трапеций

  Чтобы трапеции ABCD и EFGH были равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны их боковые стороны и высоты.

• Шаг 4: Равенство боковых сторон

  Боковая сторона трапеции ABCD равна:

  \[AB = \sqrt{(b - a)^2 + (b^2 - a^2)^2} = \sqrt{(b - a)^2 + (b - a)^2(b + a)^2} = \sqrt{(b - a)^2(1 + (b + a)^2)} = |b - a|\sqrt{1 + (b + a)^2}\]

  Боковая сторона трапеции EFGH равна:

  \[EF = \sqrt{(b - a)^2 + (2b^2 - 2a^2)^2} = \sqrt{(b - a)^2 + 4(b - a)^2(b + a)^2} = \sqrt{(b - a)^2(1 + 4(b + a)^2)} = |b - a|\sqrt{1 + 4(b + a)^2}\]

  Для равенства боковых сторон необходимо:

  \[|b - a|\sqrt{1 + (b + a)^2} = |b - a|\sqrt{1 + 4(b + a)^2}\]

  Так как |b - a| ≠ 0 (иначе все точки совпадают), можно разделить обе части на |b - a|:

  \[\sqrt{1 + (b + a)^2} = \sqrt{1 + 4(b + a)^2}\]

  Возводим обе части в квадрат:

  \[1 + (b + a)^2 = 1 + 4(b + a)^2\]

  \[3(b + a)^2 = 0\]

  \[b + a = 0\]

  \[b = -a\]

• Шаг 5: Равенство высот

  Высота трапеции ABCD равна:

  \[h_{ABCD} = a^2 - b^2 = a^2 - (-a)^2 = 0\]

  Высота трапеции EFGH равна:

  \[h_{EFGH} = 2a^2 - 2b^2 = 2a^2 - 2(-a)^2 = 0\]

  В этом случае высоты трапеций равны 0, что означает, что ABCD и EFGH вырождаются в отрезки, лежащие на оси Ox.

• Шаг 6: Другой подход к равенству высот

  Чтобы высоты были не равны нулю, вершины трапеций не должны лежать на оси Ox. Другими словами, необходимо, чтобы a ≠ 0 и b ≠ 0.

  Высота трапеции ABCD равна |a² - b²|, а высота трапеции EFGH равна |2a² - 2b²| = 2|a² - b²|.

  Чтобы трапеции были равны, высоты должны быть равны, т.е.

  \[|a^2 - b^2| = 2|a^2 - b^2|\]

  Это возможно только при |a² - b²| = 0, что означает a² = b², то есть a = b или a = -b.

  Если a = b, то все четыре точки A, B, C, D совпадают, что невозможно.

  Если a = -b, то, как было показано выше, трапеции вырождаются в отрезки на оси Ox.

• Шаг 7: Вывод

  Таким образом, если выбрать точки A, B, C, D и E, F, G, H симметричными относительно оси Oy и расположить их на параболах y = x² и y = 2x² соответственно, то четырехугольники ABCD и EFGH могут оказаться равными, но только в вырожденном случае, когда все точки лежат на оси Ox.

Ответ: можно.