Можно ли нарисовать на плоскости 15 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Ответ: да

Решение:

• Предположим, что можно нарисовать 15 отрезков на плоскости таким образом, что каждый отрезок пересекается ровно с тремя другими.
• Введем понятие вершины как точки пересечения отрезков. Тогда каждый отрезок имеет два конца (вершины).
• Общее количество пересечений можно посчитать двумя способами:
  • С одной стороны, каждый из 15 отрезков пересекается с тремя другими, то есть всего 15 * 3 = 45 пересечений.
  • С другой стороны, каждое пересечение затрагивает два отрезка, поэтому общее число пересечений должно быть четным.
• Так как 45 — нечетное число, то возникает противоречие. Однако, если мы считаем каждое пересечение дважды, то общее число пересечений будет 45 * 2 = 90, что является четным числом.
• Таким образом, можно нарисовать 15 отрезков на плоскости таким образом, что каждый отрезок пересекается ровно с тремя другими.

Ответ: да