Муравей начинает путешествие по поверхности куба от вершины А и возвращается обратно в вершину А. Дорога состоит из отрезков. Конечные точки отрезков на рёбрах расположены так, что DX : XD1 = 1 : 3; CY: YC1 = 1 : 1; BZ : ZB₁ = 3 : 1. Определи длину дороги муравья с точностью до сотых, если ребро куба равно 7 см. (В случае, если получится иррациональный ответ, то приближенные значения корней округли с точностью до сотых.) Ответ: муравей пропутешествовал__________см.

Пусть длина ребра куба равна $$a = 7 \text{ см}$$.

Путь муравья состоит из отрезков $$AX, XY, YZ, ZA$$.

Найдем длины этих отрезков:

1. $$AX = \sqrt{AD^2 + DX^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{1}{4}a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{16}a^2} = \sqrt{\frac{17}{16}a^2} = a\sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{a}{4}\sqrt{17}$$.


2. $$AY = \sqrt{AC^2 + CY^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (\frac{1}{2}a)^2} = \sqrt{2a^2 + \frac{1}{4}a^2} = \sqrt{\frac{9}{4}a^2} = \frac{3}{2}a$$.


3. $$AZ = \sqrt{AB^2 + BZ^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{3}{4}a)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{9}{16}a^2} = \sqrt{\frac{25}{16}a^2} = \frac{5}{4}a$$.

Найдем длину пути муравья:

$$L = AX + XY + YZ + ZA = 2AX + AY + AZ = 2 \cdot \frac{a}{4}\sqrt{17} + \frac{3}{2}a + \frac{5}{4}a = a(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4}) = a(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{6}{4} + \frac{5}{4}) = a(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{11}{4})$$.

Подставим значение $$a = 7$$:

$$L = 7(\frac{\sqrt{17}}{2} + \frac{11}{4}) = 7(\frac{2\sqrt{17} + 11}{4}) = \frac{7(2\sqrt{17} + 11)}{4} = \frac{14\sqrt{17} + 77}{4} \approx \frac{14 \cdot 4.12 + 77}{4} \approx \frac{57.68 + 77}{4} \approx \frac{134.68}{4} \approx 33.67 \text{ см}$$.

Ответ: 33.67