Музыкант решил измерить отношение периодов колебаний двух метрономов. Он провёл несколько опытов и обнаружил, что: за 5 колебаний первого метронома второй успел совершить 3 колебания, но не успел сделать 4 колебания; за 8 колебаний первого метронома второй успел совершить 5 колебаний, но не успел сделать 6 колебаний; за 14 колебаний первого метронома второй успел совершить 9 колебаний, но не успел сделать 10 колебаний. 1) Определите границы отношения периода колебаний первого метронома к периоду колебаний второго по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ при необходимости округлите до сотых долей. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения отношения периодов колебаний будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить отношение периодов колебаний с наибольшей точностью, найдите период колебаний первого метронома и оцените его погрешность. Считайте период колебаний второго метронома 72-1,56 известным точно. Ответ округлите до сотых долей секунды.

Решение:

1. Определим границы отношения периодов колебаний первого метронома к периоду колебаний второго по результатам каждого из трех экспериментов:
   • В первом эксперименте: $$\frac{3}{5} < \frac{T_1}{T_2} < \frac{4}{5}$$, 0,6 < $$\frac{T_1}{T_2}$$ < 0,8.
   • Во втором эксперименте: $$\frac{5}{8} < \frac{T_1}{T_2} < \frac{6}{8}$$, 0,625 < $$\frac{T_1}{T_2}$$ < 0,75.
   • В третьем эксперименте: $$\frac{9}{14} < \frac{T_1}{T_2} < \frac{10}{14}$$, 0,643 < $$\frac{T_1}{T_2}$$ < 0,714.
2. Точность определения отношения периодов колебаний будет выше в третьем эксперименте, так как границы отношения определены наиболее узко.
3. Определим период колебаний первого метронома, используя результаты третьего измерения: $$\frac{9}{14} < \frac{T_1}{1,56} < \frac{10}{14}$$ $$\frac{9 \cdot 1,56}{14} < T_1 < \frac{10 \cdot 1,56}{14}$$ $$1,00 < T_1 < 1,11$$ Оценим погрешность: $$\Delta T_1 = \frac{1,11-1,00}{2} = 0,055 \approx 0,06$$ Период колебаний первого метронома T1 = 1,06 ± 0,06 с.

Ответ: 1) 0,6 < $$\frac{T_1}{T_2}$$ < 0,8; 0,625 < $$\frac{T_1}{T_2}$$ < 0,75; 0,643 < $$\frac{T_1}{T_2}$$ < 0,714. 2) В третьем эксперименте. 3) 1,06 ± 0,06 с.