Мяч брошен с поверхности земли под углом 45° к горизонту со скоростью 20 м/с. Определите наибольшую высоту подъёма, дальность полёта, скорость в наивысшей точке траектории, скорость и координаты мяча через 2 с после начала движения.

Дано:

• $$v_0 = 20 ext{ м/с}$$
• $$\alpha = 45^\circ$$
• $$t = 2 ext{ с}$$
• $$g = 9.8 ext{ м/с}^2$$

Найти:

• $$H_{max} - ?$$
• $$L - ?$$
• $$v_{top} - ?$$
• $$v(t) - ?$$
• $$x(t) - ?$$
• $$y(t) - ?$$

Решение:

1. Наибольшая высота подъема $$H_{max}$$:

$$H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g} = \frac{(20 \text{ м/с})^2 \cdot \sin^2(45^\circ)}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{19.6} = \frac{400 \cdot \frac{1}{2}}{19.6} = \frac{200}{19.6} \approx 10.2 \text{ м}$$

Ответ: $$H_{max} \approx 10.2 \text{ м}$$

2. Дальность полета $$L$$:

$$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{(20 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot \sin(90^\circ)}{9.8} = \frac{400 \cdot 1}{9.8} \approx 40.8 \text{ м}$$

Ответ: $$L \approx 40.8 \text{ м}$$

3. Скорость в наивысшей точке траектории $$v_{top}$$:

В наивысшей точке вертикальная скорость равна нулю, остается только горизонтальная составляющая скорости:

$$v_{top} = v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) = 20 \text{ м/с} \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 14.14 \text{ м/с}$$

Ответ: $$v_{top} \approx 14.14 \text{ м/с}$$

4. Скорость мяча через 2 с после начала движения:

Горизонтальная составляющая скорости остается неизменной: $$v_x = v_{0x} = 14.14 \text{ м/с}$$.

Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести: $$v_y = v_{0y} - gt = v_0 \sin(\alpha) - gt = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 9.8 \cdot 2 \approx 14.14 - 19.6 = -5.46 \text{ м/с}$$.

Полная скорость: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(14.14)^2 + (-5.46)^2} \approx \sqrt{200 + 29.81} \approx \sqrt{229.81} \approx 15.16 \text{ м/с}$$.

Ответ: $$v(t) \approx 15.16 \text{ м/с}$$

5. Координаты мяча через 2 с после начала движения:

Горизонтальное положение: $$x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t = 14.14 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} \approx 28.28 \text{ м}$$.

Вертикальное положение: $$y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 14.14 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (2 \text{ с})^2 = 28.28 - 19.6 = 8.68 \text{ м}$$.

Ответ: Координаты мяча через 2 с: $$(x, y) \approx (28.28 \text{ м}, 8.68 \text{ м})$$.