Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на две трети своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на две трети и так далее. Когда мяч коснулся земли в третий раз, он пролетел суммарно 87 метров. С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах. После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше 15 метров?

Обозначим начальную высоту через h.

1. До первого касания земли мяч пролетел h метров.
2. После первого касания он поднялся на \(\frac{2}{3}h\) и опустился на столько же.
3. После второго касания он поднялся на \(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}h=\frac{4}{9}h\) и опустился на столько же.
4. К третьему касанию общий путь составил \(h+2\cdot\frac{2}{3}h+2\cdot\frac{4}{9}h=\frac{29}{9}h\). Поэтому \(\frac{29}{9}h=87\), откуда \(h=87\cdot\frac{9}{29}=27\) м.
5. Высота после первого отскока: \(27\cdot\frac{2}{3}=18\) м. После второго: \(18\cdot\frac{2}{3}=12\) м. Это первая высота, меньшая 15 м.

Ответ: начальная высота — 27 м; подъём станет меньше 15 м после второго отскока.