n=1\∑^8 (-1)^(n+1) / (2n+1)^n

Выражение представляет собой сумму ряда:

$$\sum_{n=1}^{8} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^n}$$

Распишем первые несколько членов ряда:

• n = 1: $$\frac{(-1)^{1+1}}{(2(1)+1)^1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$$
• n = 2: $$\frac{(-1)^{2+1}}{(2(2)+1)^2} = \frac{-1}{5^2} = -\frac{1}{25}$$
• n = 3: $$\frac{(-1)^{3+1}}{(2(3)+1)^3} = \frac{1}{7^3} = \frac{1}{343}$$
• n = 4: $$\frac{(-1)^{4+1}}{(2(4)+1)^4} = \frac{-1}{9^4} = -\frac{1}{6561}$$
• n = 5: $$\frac{(-1)^{5+1}}{(2(5)+1)^5} = \frac{1}{11^5} = \frac{1}{161051}$$
• n = 6: $$\frac{(-1)^{6+1}}{(2(6)+1)^6} = \frac{-1}{13^6} = -\frac{1}{4826809}$$
• n = 7: $$\frac{(-1)^{7+1}}{(2(7)+1)^7} = \frac{1}{15^7} = \frac{1}{170859375}$$
• n = 8: $$\frac{(-1)^{8+1}}{(2(8)+1)^8} = \frac{-1}{17^8} = -\frac{1}{6975757441}$$

Сумма ряда:

$$\sum_{n=1}^{8} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{25} + \frac{1}{343} - \frac{1}{6561} + \frac{1}{161051} - \frac{1}{4826809} + \frac{1}{170859375} - \frac{1}{6975757441} \approx 0.333 - 0.04 + 0.0029 - 0.00015 + 0.0000062 - 0.00000021 + 0.0000000058 - 0.00000000014$$ $$\approx 0.296$$

Ответ: $$\sum_{n=1}^{8} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+1)^n} \approx 0.296$$