N ? 110° M + 1 Вариант 7 K 1. По готовому чертежу найти неизвестные углы треугольника MNK. 2. AB = BC, DE = EF, LBCA = ∠EFD. Докажите, что прямые ВС и DE параллельны. 3. B 1 3 B C A D F E 2 A Ca Рис. 167 1°. На рисунке 167 1 = 2, 3 = 140°. Hайдите 24. 4. Отрезки КМ и ПР пере- секаются в точке О так, что KN = МР и KNMP. Докажите, что KPMN.

Ответ: ∠N = 35°, ∠K = 35°

1. Найдём неизвестные углы треугольника MNK:

• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• ∠M + ∠N + ∠K = 180°
• Угол ∠M = 110°, значит ∠N + ∠K = 180° - 110° = 70°

Так как по рисунку стороны MN и MK равны, то углы ∠N и ∠K равны.

• ∠N = ∠K = 70° : 2 = 35°

Ответ: ∠N = 35°, ∠K = 35°

2. Докажем, что прямые BC и DE параллельны:

• Дано: AB = BC, DE = EF, ∠BCA = ∠EFD
• Нужно доказать, что BC || DE

Доказательство:

• Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA
• Так как DE = EF, то треугольник DEF равнобедренный, и углы при основании равны: ∠EDF = ∠EFD
• По условию ∠BCA = ∠EFD, следовательно, ∠BAC = ∠EDF
• Углы ∠BAC и ∠EDF являются соответственными углами при прямых AC и DF и секущей AD.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, AC || DF.
• Так как AC || DF, то BC || DE (BC является продолжением AC, а DE является продолжением DF).

3. Найдите ∠4:

• ∠1 = ∠2, ∠3 = 140°
• ∠3 и смежный с ним угол в сумме дают 180°, поэтому смежный угол равен 180° - 140° = 40°
• Так как ∠1 = ∠2, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны.
• Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит ∠1 + ∠2 + 40° = 180°
• ∠1 + ∠2 = 180° - 40° = 140°
• ∠1 = ∠2 = 140° : 2 = 70°
• ∠2 и ∠4 - это соответственные углы при параллельных прямых и секущей.
• ∠4 = ∠2 = 70°

4. Докажите, что KP || MN:

• Дано: KM и NP пересекаются в точке O, KN = MP, KN || MP
• Доказать: KP || MN

Доказательство:

• Так как KN || MP и KN = MP, то KMPN - параллелограмм (по определению параллелограмма).
• В параллелограмме противоположные стороны параллельны.
• Следовательно, KP || MN.