n ∈ Z, n ≥ 0. 5. Найдите значение выражения: a) 12⁶/(3⁵ · 2¹¹); б) (5⁸ · 125)/25⁵. 6. Упростите выражение: a) (-(-x³)⁴)⁵; б) (2x⁴y³)⁴ · (-x³yⁿ)³, n ∈ Z, n ≥ 0. 7. Укажите все натуральные значения переменных m и n, при ко- торых степень одночлена -6³y²mуⁿ равна 5. 8. При каких значениях х верно равенство: a) (-3)²ˣ⁻¹ = 1; б) (-3)ˡˣ⁻¹ = -3? 9. Докажите, что значение выражения 91¹⁰ + 42¹⁰- 85¹⁰ делится на 10.

Решение:

1. Найдите значение выражения:
   • a) $$\frac{12^6}{3^5 \cdot 2^{11}} = \frac{(3 \cdot 4)^6}{3^5 \cdot 2^{11}} = \frac{3^6 \cdot 4^6}{3^5 \cdot 2^{11}} = \frac{3^6 \cdot (2^2)^6}{3^5 \cdot 2^{11}} = \frac{3^6 \cdot 2^{12}}{3^5 \cdot 2^{11}} = 3 \cdot 2 = 6$$
   • б) $$\frac{5^8 \cdot 125}{25^5} = \frac{5^8 \cdot 5^3}{(5^2)^5} = \frac{5^{11}}{5^{10}} = 5$$

   Ответ: a) 6; б) 5

2. Упростите выражение:
   • a) $$(-(-x^3)^4)^5 = (-x^{12})^5 = -x^{60}$$
   • б) $$(2x^4y^3)^4 \cdot (-x^3y^n)^3 = 2^4x^{16}y^{12} \cdot (-1)^3x^9y^{3n} = -16x^{25}y^{12+3n}, n \in Z, n \geq 0$$

   Ответ: a) $$-x^{60}$$; б) $$-16x^{25}y^{12+3n}, n \in Z, n \geq 0$$

3. Укажите все натуральные значения переменных m и n, при которых степень одночлена $$-6^3y^{2m}y^n$$ равна 5.

   Степень одночлена равна сумме степеней переменных, то есть $$2m + n = 5$$. Так как m и n - натуральные числа, то возможны следующие варианты:

   • m = 1, n = 3
   • m = 2, n = 1

   Ответ: m = 1, n = 3; m = 2, n = 1

4. При каких значениях х верно равенство:
   • a) $$(-3)^{2x-1} = 1$$;

     Так как любое число в степени 0 равно 1, то

     $$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$$

   • б) $$(-3)^{|x|-1} = -3$$;

     Так как любое число в степени 1 равно самому себе, то

     $$|x| - 1 = 1 \Rightarrow |x| = 2 \Rightarrow x = \pm 2$$

     Проверим корни: При x = 2, $$(-3)^{|2|-1} = (-3)^1 = -3$$. Верно. При x = -2, $$(-3)^{|-2|-1} = (-3)^1 = -3$$. Верно.

   Ответ: a) $$x = \frac{1}{2}$$; б) x = ±2

5. Докажите, что значение выражения $$91^{10} + 42^{10} - 85^{10}$$ делится на 10.

   Для доказательства делимости выражения на 10, достаточно показать, что последняя цифра этого выражения равна 0.

   • Последняя цифра числа $$91^{10}$$ равна 1, так как $$1^{10} = 1$$.
   • Последняя цифра числа $$42^{10}$$ равна 4, так как $$2^{10} = 1024$$.
   • Последняя цифра числа $$85^{10}$$ равна 5, так как $$5^{10}$$ оканчивается на 5.

   Тогда последняя цифра выражения $$91^{10} + 42^{10} - 85^{10}$$ равна $$1 + 4 - 5 = 0$$, следовательно, выражение делится на 10.

   Ответ: Выражение $$91^{10} + 42^{10} - 85^{10}$$ делится на 10.