Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаN 11 1. Вычислить значения триго- нометрических функций угла а, зная что αε Iчетв. 4 Cosd= 25 2. Построить график ФУНКЦИИ 4=-3 Sin (x+)-2 3. Решить уравнения a) 6COS24X + COS4x - 1 = 0 5) Sin²x + Sinx COSX-2COS²x= 0 8) Cos7x- cOSX = 0
Ответ:
1. Вычислить значения тригонометрических функций угла \(\alpha\), зная, что \(\alpha\) принадлежит I четверти, если \(\cos \alpha = \frac{7}{25}\).
Так как \(\alpha\) принадлежит I четверти, то \(\sin \alpha > 0\), \(\tan \alpha > 0\), \(\cot \alpha > 0\).
Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
Выразим \(\sin \alpha\):
$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$$Подставим значение \(\cos \alpha\):
$$\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$$Теперь найдем \(\tan \alpha\) и \(\cot \alpha\):
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}$$ $$\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = \frac{7}{24}$$Ответ: \(\sin \alpha = \frac{24}{25}\), \(\tan \alpha = \frac{24}{7}\), \(\cot \alpha = \frac{7}{24}\)
2. Построить график функции \(y = -3 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2\).
График функции \(y = -3 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2\) получается из графика функции \(y = \sin x\) следующими преобразованиями:
- Сжатие вдоль оси \(Oy\) в 3 раза: \(y = 3 \sin x\).
- Отражение относительно оси \(Ox\): \(y = -3 \sin x\).
- Сдвиг вдоль оси \(Ox\) влево на \(\frac{\pi}{3}\): \(y = -3 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\).
- Сдвиг вдоль оси \(Oy\) вниз на 2: \(y = -3 \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - 2\).
Вот пример кода для отображения графика с использованием Chart.js:
<canvas id="myChart" width="400" height="200"></canvas>
<script>
const ctx = document.getElementById('myChart').getContext('2d');
const myChart = new Chart(ctx, {
type: 'line',
data: {
labels: Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.1 - 10).map(x => x.toFixed(1)),
datasets: [{
label: '-3sin(x + π/3) - 2',
data: Array.from({length: 100}, (_, i) => -3 * Math.sin((i * 0.1 - 10) + Math.PI/3) - 2),
borderColor: 'blue',
borderWidth: 1,
fill: false
}]
},
options: {
scales: {
x: {
title: {
display: true,
text: 'x'
}
},
y: {
title: {
display: true,
text: 'y'
}
}
}
}
});
</script>
3. Решить уравнения:
a) \(6 \cos^2(4x) + \cos(4x) - 1 = 0\)
Пусть \(t = \cos(4x)\). Тогда уравнение принимает вид:
$$ 6t^2 + t - 1 = 0 $$Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} $$Возвращаемся к переменной \(x\):
$$\cos(4x) = \frac{1}{3} \implies 4x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\cos(4x) = -\frac{1}{2} \implies 4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$Тогда:
$$ x = \pm \frac{1}{4} \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$ $$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $$Ответ: \(x = \pm \frac{1}{4} \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\), \(x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\)
б) \(\sin^2 x + \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = 0\)
Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\), при условии, что \(\cos x
eq 0\):
Пусть \(t = \tan x\). Тогда уравнение принимает вид:
$$ t^2 + t - 2 = 0 $$Решаем квадратное уравнение:
$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$Возвращаемся к переменной \(x\):
$$\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$\tan x = -2 \implies x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\), \(x = \arctan(-2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
в) \(\cos(7x) - \cos(x) = 0\)
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos(A) - \cos(B) = -2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$$Тогда:
$$-2 \sin\left(\frac{7x + x}{2}\right) \sin\left(\frac{7x - x}{2}\right) = 0$$ $$-2 \sin(4x) \sin(3x) = 0$$Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$$\sin(4x) = 0 \implies 4x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$$ $$\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$$Ответ: \(x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}\), \(x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}\)
