n 2) (62n + 19 - 2n + 1): 17; 4 34.12. Докажите, что для любого натурального п: 1) (7n + 1 + 82n - 1): 19; 2) (7.24″-5 · 13″ – 2n + 1) : 11; 3) (32n + 2 - 413 Покажите, что если а ≥ 0, b ≥ 0, n∈ N, то 8n - 9): 64. a+b 2 n an + b

1) \[ (7^{n+1} + 8^{2n-1}) \vdots 19 \]
Преобразуем выражение: \[ 7^{n+1} + 8^{2n-1} = 7 \cdot 7^n + \frac{1}{8} \cdot (8^2)^n = 7 \cdot 7^n + \frac{1}{8} \cdot 64^n \]
Так как 64 = 19 \cdot 3 + 7 , то 64 \equiv 7 \pmod{19} , следовательно, можно заменить 64^n на 7^n : \[ 7 \cdot 7^n + \frac{1}{8} \cdot 7^n = 7^n \left( 7 + \frac{1}{8} \right) = 7^n \cdot \frac{57}{8} = 7^n \cdot \frac{19 \cdot 3}{8} \]
Выражение 7^n \cdot \frac{19 \cdot 3}{8} делится на 19 при любом натуральном n.

2) \[ (7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1}) \vdots 11 \]
Преобразуем выражение: \[ 7 \cdot 24^n - 5 \cdot 13^n - 2^{n+1} = 7 \cdot (2 \cdot 11 + 2)^n - 5 \cdot (11 + 2)^n - 2 \cdot 2^n \]
Заметим, что \[ 24 \equiv 2 \pmod{11}, \quad 13 \equiv 2 \pmod{11} \]
Следовательно, выражение можно упростить до: \[ 7 \cdot 2^n - 5 \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n = 2^n(7 - 5 - 2) = 2^n \cdot 0 \]
Так как 2^n \cdot 0 = 0 , то выражение делится на 11 при любом натуральном n.

3) \[ (3^{2n+2} - 8n - 9) \vdots 64 \]
Преобразуем выражение: \[ 3^{2n+2} - 8n - 9 = 9 \cdot 9^n - 8n - 9 \]
Рассмотрим выражение по модулю 64: \[ 9 \cdot 9^n - 8n - 9 \equiv 0 \pmod{64} \]
Для n = 1: \[ 9 \cdot 9 - 8 - 9 = 81 - 17 = 64 \vdots 64 \]
Для n = 2: \[ 9 \cdot 81 - 16 - 9 = 729 - 25 = 704 = 11 \cdot 64 \vdots 64 \]
Докажем по индукции. База индукции уже проверена для n = 1.
Предположим, что для некоторого n выполнено: \[ 9 \cdot 9^n - 8n - 9 \vdots 64 \]
Покажем, что тогда и для n + 1 выполнено: \[ 9 \cdot 9^{n+1} - 8(n+1) - 9 = 9 \cdot 9 \cdot 9^n - 8n - 8 - 9 = 81 \cdot 9^n - 8n - 17 = (9 \cdot 9^n - 8n - 9) + (72 \cdot 9^n - 8) \]
Нам нужно доказать, что 72 \cdot 9^n - 8 делится на 64. Заметим, что \[ 72 \cdot 9^n - 8 = 8(9 \cdot 9^n - 1) \]
И нам осталось доказать, что 9 \cdot 9^n - 1 делится на 8. \[ 9 \cdot 9^n - 1 = 9^{n+1} - 1 \]
Так как 9 в любой степени даёт остаток 1 при делении на 8, то 9^{n+1} - 1 делится на 8.