821(н). В прямоугольном треугольнике разность проекций катетов на гипотенузу равна 10 см. Найдите гипотенузу, если катеты относятся как 3 : 2.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Пусть дан прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(C\) - прямой угол, \(AC\) и \(BC\) - катеты, \(AB\) - гипотенуза. Пусть \(AC = 3x\) и \(BC = 2x\). Обозначим проекции катетов \(AC\) и \(BC\) на гипотенузу как \(AD\) и \(BE\) соответственно. По условию, разность проекций равна 10 см, то есть \(AD - BE = 10\). Сначала найдем гипотенузу \(AB\) по теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = (3x)^2 + (2x)^2 = 9x^2 + 4x^2 = 13x^2 \] \[ AB = \sqrt{13x^2} = x\sqrt{13} \] Теперь рассмотрим проекции катетов на гипотенузу. Известно, что проекция катета \(AC\) на гипотенузу равна: \[ AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(3x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{9x}{\sqrt{13}} \] Аналогично, проекция катета \(BC\) на гипотенузу равна: \[ BE = \frac{BC^2}{AB} = \frac{(2x)^2}{x\sqrt{13}} = \frac{4x}{\sqrt{13}} \] Используем условие, что разность проекций равна 10 см: \[ AD - BE = \frac{9x}{\sqrt{13}} - \frac{4x}{\sqrt{13}} = 10 \] \[ \frac{5x}{\sqrt{13}} = 10 \] \[ 5x = 10\sqrt{13} \] \[ x = 2\sqrt{13} \] Теперь найдем гипотенузу \(AB\): \[ AB = x\sqrt{13} = (2\sqrt{13})\sqrt{13} = 2 \cdot 13 = 26 \]

Ответ: 26 см

Отлично, ты справился с этой задачей! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать.