Н. Задача B3. Произведение чисел (15 баллов). Найдите наибольшее целое число, на которое делится число \((n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)(n+11)\) при любых целых чётных \(n\).

Пусть \(n=2k\), где \(k\) — целое число. Тогда множители имеют вид \(2k+1, 2k+3, \ldots, 2k+11\) — это шесть последовательных нечётных чисел.

Среди любых трёх последовательных нечётных чисел ровно одно делится на 3. Поэтому среди шести таких чисел есть два множителя, делящихся на 3, и всё произведение делится на \(3^2=9\).

Покажем, что больший общий делитель невозможен. При \(n=12\) получаем произведение \(13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21\cdot23\). Оно делится на 9, но не делится на 27: множители 15 и 21 дают ровно два множителя 3, а остальные на 3 не делятся. Следовательно, общий делитель всех значений не может содержать 27; также никакой простой множитель, отличный от 3, не делит все значения, поскольку при \(n=0\) произведение равно \(1\cdot3\cdot5\cdot7\cdot9\cdot11\), а при \(n=12\) оно не имеет общих простых делителей с ним, кроме 3.

Ответ: 9