На «4», «5»: решить неравенства: 1) \(x^3-3x^2-6x+8<0\); 2) \((x-4)^2(x+2)(x-1)\ge 0\); 3) \(\frac{8x^2-2}{3-x}\ge 0\); 4) \(\frac{x^2-4x+3}{x^2+5x-6}\le 1\).

Разложим многочлен: \(x^3-3x^2-6x+8=(x-1)(x-4)(x+2)\). Корни: \(-2,1,4\); с учётом чередования знаков и строгого неравенства выбираем промежутки, где произведение отрицательно.

Ответ: \(x\in(-\infty,-2)\cup(1,4)\).

Нули множителей: \(-2,1,4\), причём \(x=4\) — корень чётной кратности. Множитель \((x-4)^2\) не меняет знак; произведение \((x+2)(x-1)\) неотрицательно при \(x\le-2\) или \(x\ge1\). Нули исходного выражения включаются.

Ответ: \(x\in(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)\).

Разложим числитель: \(8x^2-2=2(2x-1)(2x+1)\). Критические точки: \(-\frac12,\frac12,3\); точка \(3\) исключается из области определения. По знакам дробь неотрицательна на \((-\frac12,\frac12]\) и \((3,+\infty)\); при \(x=-\frac12\) числитель равен нулю, поэтому эта точка также включается.

Ответ: \(x\in[-\frac12,\frac12]\cup(3,+\infty)\).

Область определения: \(x\ne1,-6\). Перенесём 1 влево и приведём к общей дроби:

\(\frac{x^2-4x+3}{x^2+5x-6}-1=\frac{x^2-4x+3-(x^2+5x-6)}{(x+6)(x-1)}=\frac{-9x+9}{(x+6)(x-1)}=\frac{-9(x-1)}{(x+6)(x-1)}\).

При допустимых \(x\) это выражение равно \(-\frac9{x+6}\). Требуется \(-\frac9{x+6}\le0\), откуда \(x>-6\). Исключаем запрещённую точку \(x=1\).

Ответ: \(x\in(-6,1)\cup(1,+\infty)\).