На ABCD — прямоугольник, ∠BAC, ∠ACD = 60°. 1) OK = a. Найдите DB и AB; 2) AC = m. Найдите AK и CD.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому \(DB=AC\), а \(O\) — середина диагонали \(AC\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\). Так как \(\angle ACD=60°\), то \(\angle CAD=30°\). В треугольнике с углами 30°, 60°, 90° сторона, лежащая против угла 30°, равна половине гипотенузы:

\(CD=\frac{AC}{2}\).

Из условия \(OK=a\). Поскольку \(OK=\frac{AC}{4}\), получаем:

\(AC=4a\).

Следовательно,

\(DB=AC=4a\),

\(AB=CD=\frac{AC}{2}=2a\).

Если \(AC=m\), то:

\(AK=\frac{AC}{4}=\frac{m}{4}\),

\(CD=\frac{AC}{2}=\frac{m}{2}\).

Ответ: 1) \(DB=4a\), \(AB=2a\); 2) \(AK=\frac{m}{4}\), \(CD=\frac{m}{2}\).