На бильярдном столе лежат 8 одноцветных и 8 полосатых шаров. Все шары разные. Лёша хочет взять со стола 5 одноцветных шаров и 6 полосатых. Сколько разных наборов шаров у него может получиться?

Решение:

Чтобы найти количество разных наборов шаров, нужно определить, сколькими способами Лёша может выбрать одноцветные шары и сколькими способами он может выбрать полосатые шары, а затем перемножить эти числа.

1. Выбор одноцветных шаров:
   У нас есть 8 одноцветных шаров, и Лёша хочет взять 5 из них. Это задача на сочетания, так как порядок выбора шаров не имеет значения. Количество способов выбрать 5 одноцветных шаров из 8 равно:
   \[ C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \]
2. Выбор полосатых шаров:
   У нас есть 8 полосатых шаров, и Лёша хочет взять 6 из них. Количество способов выбрать 6 полосатых шаров из 8 равно:
   \[ C_8^6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28 \]
3. Общее количество наборов:
   Чтобы найти общее количество разных наборов шаров, нужно перемножить количество способов выбора одноцветных и полосатых шаров:
   \[ 56 \times 28 = 1568 \]

Ответ: 1568