6*. На биссектрисе BM равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка D, на отрезке AM точка E и на отрезке CM — точка F, причем EM = FM. Найдите ∠CFD, если ∠FDE = 80°.

Пусть ∠ABC = β, ∠BAC = ∠BCA = α. Так как BM - биссектриса, то ∠ABM = ∠CBM = β/2. Так как ABC равнобедренный, то α = (180° - β)/2 = 90° - β/2.

Поскольку EM = FM, то треугольник EMF - равнобедренный. Пусть ∠MEF = ∠MFE = γ.

Рассмотрим треугольник DEF. ∠FDE = 80° (дано). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠DFE + ∠DEF = 180° - 80° = 100°.

∠AME = ∠CMF (вертикальные углы). Также, ∠AME = 180° - α - β/2, следовательно, ∠CMF = 180° - α - β/2 = 180° - (90° - β/2) - β/2 = 90°.

Так как ∠CMF = 90°, то ∠CFD + ∠DFE = 90°.

∠DEF = γ - α. ∠DFE = γ - α.

Тогда ∠DEF + ∠DFE = 2γ - 2α = 100°, значит γ - α = 50°.

γ = 50° + α.

∠CFD = 90° - ∠DFE = 90° - (γ - α) = 90° - 50° = 40°.

Ответ: 40°