На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки D и E так, что ∠ACD = ∠CAE. Докажите, что AD = CE.

Так как треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB и BC, то его углы при основании равны:

\(\angle BAC = \angle ACB\).

Точки D и E лежат соответственно на сторонах AB и BC, поэтому лучи AD и AB, а также CE и CB совпадают. Следовательно,

\(\angle CAD = \angle BAC\), а \(\angle ACE = \angle ACB\). Значит,

\(\angle CAD = \angle ACE\).

Рассмотрим треугольники ACD и CAE. В них:

1. \(AC\) — общая сторона;
2. \(\angle ACD = \angle CAE\) по условию;
3. \(\angle CAD = \angle ACE\), так как \(\triangle ABC\) равнобедренный.

Следовательно, треугольники ACD и CAE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA).

В равных треугольниках соответствующие стороны равны, поэтому

\[AD = CE.\]

Ответ: \(AD = CE\).