На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN. BD — медиана треугольника. Докажите, что MD = ND.

Рассмотрим треугольники \(\triangle BMD\) и \(\triangle BND\).

Так как \(ABC\) — равнобедренный треугольник, то \(AB=BC\). Поскольку \(BM=BN\), получаем \(AM=CN\): из равенств \(AB=BC\) и \(BM=BN\) вычитаем соответственно равные отрезки.

Так как \(BD\) — медиана, точка \(D\) является серединой основания \(AC\), поэтому \(AD=DC\).

Следовательно, \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\) равны по трём сторонам: \(AB=BC\), \(AD=DC\), \(BD\) — общая сторона. Поэтому \(\angle ABD=\angle DBC\). Значит, луч \(BD\) является осью симметрии равнобедренного треугольника \(ABC\), переводящей точку \(M\) в точку \(N\). Точка \(D\) лежит на оси симметрии, поэтому она равноудалена от симметричных точек \(M\) и \(N\).

Следовательно, \(\boxed{MD=ND}\).