На числовой прямой даны три отрезка: Р = [2; 90], Q = [15; 45] и R = [10; 21]. Укажите минимальную возможную длину такого отрезка А, для которого формула ((x∈P) → (x∈R)) v (-(x∈ A) → -(x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Пошаговое решение:

• Для начала упростим логическое выражение: \[ ((x \in P) \rightarrow (x \in R)) \vee ((
  eg (x \in A)) \rightarrow (
  eg (x \in Q))) \]
• Используем эквивалентность \( a \rightarrow b \equiv
  eg a \vee b \): \[ (
  eg (x \in P) \vee (x \in R)) \vee ((x \in A) \vee (
  eg (x \in Q))) \]
• Упрощаем: \[
  eg (x \in P) \vee (x \in R) \vee (x \in A) \vee (
  eg (x \in Q)) \]
• Чтобы выражение было истинным при любом х, необходимо, чтобы для любого х выполнялось хотя бы одно из условий: x не принадлежит P, x принадлежит R, x принадлежит A, x не принадлежит Q.
• Рассмотрим отрезки P = [2; 90], Q = [15; 45], R = [10; 21]. Нам нужно найти такой отрезок A, чтобы объединение \(
  eg P \cup R \cup A \cup
  eg Q \) покрывало всю числовую прямую.
• Выражение \(
  eg P \cup R \cup A \cup
  eg Q \) должно покрывать числовую прямую. Это значит, что если x ∈ P и x ∈ Q, то x обязательно должен принадлежать R или A. Если x ∈ P и x ∈ Q, то x ∈ [15; 45], т.е. пересечение P и Q равно [15; 45]. Если x ∈ [15; 45], то x ∈ R (R = [10; 21]) или x ∈ A.
• Тогда, чтобы формула всегда была истинна, отрезок A должен покрывать часть отрезка [15; 45], которая не входит в R, т.е. A должен покрывать [22; 45].
• Минимальная длина отрезка A равна длине отрезка [22; 45], которая составляет 45 - 22 = 23.

Ответ: 23