1. На данном рисунке <1 = 113°, <2 = 67°, <3 = 34°. Найти <4. 2. Из точек А и В, лежащих на одной из сторон данного острого угла, проведены перпендикуляры к этой стороне, пересекающие вторую сторону угла в точках М и К соответственно. а) Докажите, что АМ\\ВК., 6) Найдите <АМК, если <ВКМ = 55°. 3. Две параллельные прямые пересечены третьей. Односторонние углы относятся как 3:6. Найти все углы. 4. Две параллельные прямые пересечены третьей. Один из односторонних углов на 50° больше другого. Найти все углы. 5. На сторонах OD и ОС треугольника ODC отмечены точки К и Е соответственно. Докажите, что если <OEK = <OCD, το <OKE = <ODC.

1. Найти <4

Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, \[<4 = 360° - (<1 + <2 + <3) = 360° - (113° + 67° + 34°) = 360° - 214° = 146°\]

2. Доказать, что AM||BK и найти <AMK, если <BKM = 55°

a) Доказательство AM||BK: Т.к. AM и BK перпендикулярны одной и той же стороне угла, то они параллельны друг другу.

б) Найти <AMK: Т.к. AM||BK, то <AMK и <BKM - соответственные углы. Следовательно, <AMK = <BKM = 55°.

3. Две параллельные прямые пересечены третьей. Односторонние углы относятся как 3:6. Найти все углы.

Пусть один угол 3x, другой 6x. Т.к. углы односторонние, то их сумма равна 180°. Следовательно, 3x + 6x = 180°. Решаем уравнение: 9x = 180° x = 20° Значит, один угол равен 3 * 20° = 60°, другой угол равен 6 * 20° = 120°. Смежные с ними углы равны соответственно 180° - 60° = 120° и 180° - 120° = 60°.

4. Две параллельные прямые пересечены третьей. Один из односторонних углов на 50° больше другого. Найти все углы.

Пусть один угол x, другой x + 50°. Т.к. углы односторонние, то их сумма равна 180°. Следовательно, x + (x + 50°) = 180°. Решаем уравнение: 2x + 50° = 180° 2x = 130° x = 65° Значит, один угол равен 65°, другой угол равен 65° + 50° = 115°. Смежные с ними углы равны соответственно 180° - 65° = 115° и 180° - 115° = 65°.

5. Доказать, что если <OEK = <OCD, то <OKE = <ODC.

Рассмотрим треугольники OEK и ODC. По условию <OEK = <OCD. <O - общий угол для обоих треугольников. Следовательно, треугольники OEK и ODC подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует, что соответствующие углы равны, т.е. <OKE = <ODC.