На данном рисунке OC – биссектриса угла АОВ, ∠1 = = 128°, ∠2 = 52°. а) Докажите, что АО = AC. б) Найдите ∠ACO. 2 Дан угол АВС, равный 115°. Через точки А и В проведены прямые AD и ВК, перпенди- кулярные к прямой ВС (точ- ки А и К лежат по одну сторо- ну от ВС, точка D не лежит внутри угла АВС). а) Найдите ∠BAD. б) Найдите ДАКВ, есл ∠BAK = 36°. 3 Отрезки КМ и ПР пере- секаются в точке О так, что К№ = МР и К№ МР. Докажите, что КΡΜΝ.

Задание 1

На данном рисунке OC – биссектриса угла АОВ, ∠1 = 128°, ∠2 = 52°.

а) Докажите, что АО = AC.

б) Найдите ∠ACO.

Решение:

а) Давай докажем, что AO = AC. Сначала найдем угол AOB.

Т.к. ОС - биссектриса угла AOB, то ∠AOB = 2 * ∠1 = 2 * 52° = 104°.

Теперь рассмотрим треугольник AOB. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

∠OAB = 180° - ∠AOB - ∠1 = 180° - 104° - 52° = 24°.

Угол AOC является смежным с углом AOB, поэтому:

∠AOC = 180° - ∠AOB = 180° - 104° = 76°.

Теперь найдем угол ACO в треугольнике AOC:

∠ACO = 180° - ∠AOC - ∠2 = 180° - 76° - 52° = 52°.

Так как углы ∠2 и ∠ACO равны (оба по 52°), то треугольник AOC является равнобедренным с основанием OC. Значит, стороны AO и AC равны: AO = AC.

б) Мы уже нашли ∠ACO в пункте (а): ∠ACO = 52°.

Ответ: ∠ACO = 52°

---

Задание 2

Дан угол ABC, равный 115°. Через точки А и В проведены прямые AD и BK, перпендикулярные к прямой BC (точки А и К лежат по одну сторону от BC, точка D не лежит внутри угла ABC).

а) Найдите ∠BAD.

б) Найдите ∠AKB, если ∠BAK = 36°.

Решение:

а) Давай найдем ∠BAD. Поскольку AD перпендикулярна BC, то ∠ADB = 90°.

Рассмотрим четырехугольник ABKD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

∠BAD = 360° - ∠ABK - ∠BKA - ∠ADB = 360° - 115° - 90° - 90° = 65°.

б) Найдем ∠AKB, если ∠BAK = 36°.

В треугольнике ABK сумма углов равна 180°.

∠AKB = 180° - ∠ABK - ∠BAK = 180° - 90° - 36° = 54°.

Ответ: ∠BAD = 65°, ∠AKB = 54°

---

Задание 3

Отрезки KM и NP пересекаются в точке O так, что KN = MP и KN || MP. Докажите, что KP || MN.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник KMPN.

По условию, KN = MP и KN || MP. Это означает, что KMPN - параллелограмм (по признаку: если две стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм).

В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Следовательно, KP || MN.

Ответ: KP || MN

Ты отлично справился с заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!