На деловой встрече присутствовало 11 сотрудников разных компаний. По окончании встречи каждый сотрудник обменялся с каждым рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение:

Это задача на комбинаторику. Каждый сотрудник пожал руку остальным 10 сотрудникам. Если мы умножим количество сотрудников на количество рукопожатий, которые совершил каждый, мы посчитаем каждое рукопожатие дважды (например, рукопожатие между сотрудником А и сотрудником Б будет посчитано как рукопожатие А-Б и Б-А).

Чтобы найти общее количество рукопожатий, мы можем использовать формулу для числа сочетаний из n по k, где n — общее число сотрудников, а k — число сотрудников, участвующих в одном рукопожатии (то есть 2).

Формула для числа сочетаний: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

В нашем случае, \( n = 11 \) (количество сотрудников) и \( k = 2 \) (так как рукопожатие происходит между двумя людьми).

\( C(11, 2) = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \times 10 \times 9!}{2 \times 1 \times 9!} = \frac{11 \times 10}{2} = \frac{110}{2} = 55 \)

Альтернативно, можно рассуждать так:

1. Первый сотрудник пожмет руки 10 другим.
2. Второй сотрудник уже пожал руку первому, поэтому он пожмет руки оставшимся 9.
3. Третий — 8, и так далее, до последнего, кто уже со всеми поздоровался.
4. Сумма: \( 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 \)

Ответ: 55 рукопожатий.