1. На диагонали AC параллелограмма ABCD отложены равные отрезки AE и CK. Докажите, что четырёхугольник BEDK — параллелограмм.

Для решения этой задачи нам потребуется знание свойств параллелограмма и признаков параллелограмма.

Дано:

• ABCD – параллелограмм
• AE = CK (то есть, отрезки AE и CK равны)
• E лежит на AC, K лежит на AC

Доказать: BEDK – параллелограмм

Доказательство:

1. Так как ABCD – параллелограмм, то его противоположные стороны равны и параллельны, то есть AB || CD и BC || AD.

2. Рассмотрим диагональ AC. Так как AE = CK, то AE = CK.

3. Обозначим середину AC точкой O. Так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, то AO = OC.

4. Теперь выразим OE и OK через AO, OC, AE и CK: OE = AO - AE и OK = OC - CK.

5. Так как AO = OC и AE = CK, то OE = OK. Это означает, что точка O является серединой отрезка EK.

6. Аналогично, точка O является серединой отрезка BD (так как O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD).

7. Таким образом, в четырёхугольнике BEDK диагонали BD и EK точкой пересечения O делятся пополам. А это является признаком параллелограмма.

Вывод: Четырёхугольник BEDK является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что BEDK - параллелограмм.