На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому O — середина диагонали AC. Следовательно, O — середина отрезка AC.
2. Точки P и Q лежат на диагонали BD, причём PB = QD. Значит, они расположены симметрично относительно середины диагонали BD.
3. Так как O — середина диагонали BD, то O — середина отрезка PQ.
4. В четырёхугольнике APCQ диагонали — это AC и PQ. Они пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: четырёхугольник APCQ — параллелограмм.