4. На дифракционную решетку, имеющую период d = 1,2 × ×10-3 см, нормально падает монохроматическая волна. Оцени- те длину волны λ, если угол между спектрами второго и треть его порядков Δφ = 2°30′.

Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой дифракционной решетки:

$$ d \sin \varphi = k \lambda, $$ где:

• d – период дифракционной решетки,
• \(\varphi\) – угол дифракции,
• k – порядок спектра,
• \(\lambda\) – длина волны.

По условию задачи, угол между спектрами второго и третьего порядков равен 2°30'. Это означает, что разность углов дифракции для этих порядков составляет 2°30'.

Переведем 2°30' в десятичные градусы:

$$ 2°30' = 2 + \frac{30}{60} = 2.5° $$

Обозначим угол дифракции для второго порядка как \(\varphi_2\), а для третьего порядка как \(\varphi_3\). Тогда:

$$ \varphi_3 - \varphi_2 = 2.5° $$

Запишем уравнение дифракционной решетки для второго и третьего порядков:

$$ d \sin \varphi_2 = 2 \lambda \quad (1)\\ d \sin \varphi_3 = 3 \lambda \quad (2) $$

Выразим \(\sin \varphi_2\) и \(\sin \varphi_3\) из уравнений (1) и (2):

$$ \sin \varphi_2 = \frac{2 \lambda}{d} \\ \sin \varphi_3 = \frac{3 \lambda}{d} $$

Воспользуемся формулой синуса разности углов:

$$ \sin(\varphi_3 - \varphi_2) = \sin \varphi_3 \cos \varphi_2 - \cos \varphi_3 \sin \varphi_2 $$

Однако, поскольку угол мал, можно воспользоваться приближением \(\sin x \approx x\) и \(\cos x \approx 1\) для малых углов в радианах. Переведем 2.5° в радианы:

$$ 2.5° = 2.5 \cdot \frac{\pi}{180} \approx 0.0436 \text{ рад} $$

Тогда:

$$ \sin(\varphi_3 - \varphi_2) \approx \varphi_3 - \varphi_2 \approx 0.0436 $$

Используем малое угловое приближение непосредственно для разности синусов:

$$ \sin \varphi_3 - \sin \varphi_2 = \frac{3 \lambda}{d} - \frac{2 \lambda}{d} = \frac{\lambda}{d} $$

Тогда:

$$ \frac{\lambda}{d} \approx 0.0436 $$

Выразим \(\lambda\) и подставим значение d:

$$ \lambda = 0.0436 \cdot d = 0.0436 \cdot 1.2 \times 10^{-3} \text{ см} $$

Вычислим значение \(\lambda\):

$$ \lambda = 0.0436 \cdot 1.2 \times 10^{-3} = 5.232 \times 10^{-5} \text{ см} = 523.2 \text{ нм} $$

Ответ: 523.2 нм