На дифракционную решетку с периодом 0,004 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. Количество дифракционных максимумов, наблюдаемых с помощью этой решетки, равно 17. Какова длина волны света?

Решение:

В условии сказано, что наблюдается 17 дифракционных максимумов. Это значит, что существуют максимумы от 0-го до 8-го порядка в обе стороны от центрального максимума (0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8). Всего 17 максимумов.

Период дифракционной решетки \( d = 0,004 \text{ мм} = 4 \times 10^{-6} \text{ м} \).

Условие максимумов для дифракционной решетки:

\[ d \sin \alpha = k \lambda \],

где \( d \) — период решетки, \( \alpha \) — угол дифракции, \( k \) — порядок максимума (\( k = 0, 1, 2, ... \)), \( \lambda \) — длина волны.

Наибольший угол дифракции, при котором наблюдается максимум, соответствует \( k = 8 \). Максимальный угол дифракции \( \alpha_{max} \) удовлетворяет условию \( \sin \alpha_{max} \le 1 \).

Следовательно, \( d \sin \alpha_{max} = 8 \lambda \).

В данном случае, если \( k=8 \) дает видимый максимум, то \( \sin \alpha_{max} = \frac{8 \lambda}{d} \le 1 \).

Наибольшее число максимумов \( N_{max} \) определяется как \( N_{max} = 2k_{max} + 1 \), где \( k_{max} \) — максимальный порядок, который может наблюдаться. Из условия \( 2k_{max} + 1 = 17 \), следует \( 2k_{max} = 16 \), то есть \( k_{max} = 8 \).

Тогда \( \sin \alpha_{max} = \frac{k_{max} \lambda}{d} \). Поскольку \( \sin \alpha_{max} \le 1 \), то \( \frac{8 \lambda}{d} \le 1 \), что означает \( \lambda \le \frac{d}{8} \).

Подставим значение \( d \):

\[ \lambda \le \frac{4 \times 10^{-6} \text{ м}}{8} \]

\( \lambda \le 0,5 \times 10^{-6} \text{ м} = 500 \text{ нм} \).

Мы видим, что максимальная длина волны, при которой возможен 8-й максимум, составляет 500 нм. Если длина волны будет больше, то 8-й максимум не будет наблюдаться. Все варианты ответов меньше или равны 500 нм, кроме 680 нм и 790 нм.

Рассмотрим каждый вариант:

1. \( \lambda = 440 \text{ нм} = 4,4 \times 10^{-7} \text{ м} \). \( k = \frac{d \sin \alpha}{\lambda} \). Если \( \alpha \to 90^\circ \) (т.е. \( \sin \alpha = 1 \)), то \( k = \frac{4 \times 10^{-6}}{4,4 \times 10^{-7}} = \frac{40}{4,4} \approx 9,09 \). Значит, возможно наблюдать максимумы до \( k=9 \). Но у нас максимум 8.
2. \( \lambda = 500 \text{ нм} = 5 \times 10^{-7} \text{ м} \). \( k = \frac{4 \times 10^{-6}}{5 \times 10^{-7}} = \frac{40}{5} = 8 \). То есть, при \( \lambda = 500 \text{ нм} \) наблюдаются максимумы до 8-го порядка, что соответствует 17 максимумам.
3. \( \lambda = 680 \text{ нм} = 6,8 \times 10^{-7} \text{ м} \). \( k = \frac{4 \times 10^{-6}}{6,8 \times 10^{-7}} = \frac{40}{6,8} \approx 5,88 \). В этом случае максимум 6-го порядка будет последним, что даст \( 2 \times 6 + 1 = 13 \) максимумов.
4. \( \lambda = 790 \text{ нм} = 7,9 \times 10^{-7} \text{ м} \). \( k = \frac{4 \times 10^{-6}}{7,9 \times 10^{-7}} = \frac{40}{7,9} \approx 5,06 \). В этом случае максимум 5-го порядка будет последним, что даст \( 2 \times 5 + 1 = 11 \) максимумов.

Таким образом, условию задачи соответствует длина волны 500 нм.

Ответ: 500 нм.