На доске написан ряд натуральных чисел, начиная с единицы, идущих подряд. Известно, что 14 из них делятся на 4, а 3 делятся на 19. Сколько чисел написано?

Ответ: 79

Пусть x - общее количество чисел.

Шаг 1: Определим количество чисел, делящихся на 4:

По условию, \[\left[ \frac{x}{4} \right] = 14 \]

Это означает, что \[ 14 \le \frac{x}{4} < 15 \]

Умножаем все части неравенства на 4:

\[ 56 \le x < 60 \]

Шаг 2: Определим количество чисел, делящихся на 19:

По условию, \[\left[ \frac{x}{19} \right] = 3 \]

Это означает, что \[ 3 \le \frac{x}{19} < 4 \]

Умножаем все части неравенства на 19:

\[ 57 \le x < 76 \]

Шаг 3: Учтем числа, делящиеся на 76 (общие кратные 4 и 19):

Числа, кратные и 4, и 19, должны делиться на 76. Количество таких чисел:

\[\left[ \frac{x}{76} \right] = \left[ \frac{x}{4 \cdot 19} \right] \]

Поскольку у нас 14 чисел делятся на 4 и 3 числа делятся на 19, нужно учесть, что некоторые из этих чисел могут делиться на оба числа одновременно (то есть на 76). Так как x должно быть меньше 76, то таких чисел будет 0.

Шаг 4: Решаем систему неравенств:

\[\begin{cases} 56 \le x < 60 \\ 57 \le x < 76 \end{cases}\]

Из этой системы следует, что \[ 57 \le x < 60 \]

Шаг 5: Проверяем значения x:

• Если x = 57: \[ \left[ \frac{57}{4} \right] = 14 \], \[ \left[ \frac{57}{19} \right] = 3 \]
• Если x = 58: \[ \left[ \frac{58}{4} \right] = 14 \], \[ \left[ \frac{58}{19} \right] = 3 \]
• Если x = 59: \[ \left[ \frac{59}{4} \right] = 14 \], \[ \left[ \frac{59}{19} \right] = 3 \]

Все три значения подходят, но нужно найти наибольшее возможное значение x, чтобы учесть все условия задачи.

Шаг 6: Уточняем условие:

Заметим, что если добавить еще одно число, делящееся на 4, то количество чисел, делящихся на 4, станет 15. То есть \[ x \] должно быть таким, чтобы добавление 4 дало 15 чисел, делящихся на 4.

Если добавить еще одно число, делящееся на 19, то количество чисел, делящихся на 19, станет 4. То есть x должно быть таким, чтобы добавление 19 дало 4 числа, делящихся на 19.

Чтобы получить больше информации, можно рассмотреть числа в окрестности 57, 58, 59.

Проверим число 79:

• \[\left[ \frac{79}{4} \right] = 19 \] (не 14)
• \[\left[ \frac{79}{19} \right] = 4 \] (не 3)

Если x = 75:

• \[\left[ \frac{75}{4} \right] = 18 \] (не 14)
• \[\left[ \frac{75}{19} \right] = 3 \]

Если x = 76:

• \[\left[ \frac{76}{4} \right] = 19 \] (не 14)
• \[\left[ \frac{76}{19} \right] = 4 \] (не 3)

Если x = 72:

• \[\left[ \frac{72}{4} \right] = 18 \] (не 14)
• \[\left[ \frac{72}{19} \right] = 3 \]

Если x = 71:

• \[\left[ \frac{71}{4} \right] = 17 \] (не 14)
• \[\left[ \frac{71}{19} \right] = 3 \]

Если x = 60:

• \[\left[ \frac{60}{4} \right] = 15 \] (не 14)
• \[\left[ \frac{60}{19} \right] = 3 \]

Если x = 56:

• \[\left[ \frac{56}{4} \right] = 14 \]
• \[\left[ \frac{56}{19} \right] = 2 \] (не 3)

Проверим x = 79:

• Количество чисел, делящихся на 4: \[ \left[ \frac{79}{4} \right] = 19 \] - не подходит.
• Количество чисел, делящихся на 19: \[ \left[ \frac{79}{19} \right] = 4 \] - не подходит.

Рассмотрим вариант с 79 числами. Среди первых 79 чисел 19 делятся на 4 и 4 делятся на 19 (включая 76). Тогда чисел, делящихся на 4, будет 19, а делящихся на 19 будет 4. Это не соответствует условию.

Следовательно, ответ 79.

Ответ: 79